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déterminé (Voir par exemple: Fréchet, Thèse, Circolo matematico di Pa- 

 lermo, 1906). 



3. J'emploierai, pour représenter approximativement une telle fonction- 

 nelle, des expressioDs de la forme: 



(1) V< W >|M|=K 8 +^ - K s {ct ì ,...,a s )z{u ì )...z{a s )da 1 ...da s . 



K 0 est une constante; K s . une fonction continue par rapport à l'en- 

 semble de ses variables ; n est un entier positif, qui, adjoint à la lettre V 

 comme indice supérieur, indique uniquement les limites entre lesquelles sont 

 prises les intégrales. Pour distinguer entre elles plusieurs expressions (1), 

 j'atfecterai la lettre V d'indices inférieurs, qui devront également alfecter 



4. Dans les paragraphes II et III, toutes les fois qu'uu passage à la 

 limite sera indiqué il sera sous-entendu que la convergence est uniforme 

 dans tout ensemble compact des fonctions considérées, soient z, soient z 

 et óz. 



II. — Keprésentation d'une ponctionnelle continue. 



1. Une méthode analogue à celle qui est indiquée dans la première 

 Note citée conduit aux résultats suivants: 



2. Soit U|[Y]| une fonctionnelie reelle, définie et continue soit dans Sì, 

 soit dans Si (A. , B). On pent d.éterminer une suite VJT'IMI Mi e que: 



3. Détìnissons la variation première d'une fonctionnelie U][#]| par 

 l'égalité: 



Dans chacun des deux cas précédents, supposons que U| [_z~] j admette une 

 variation première ó\3\[_z , ói]\ définie et continue par rapport à l'ensemble 

 des fonctions z , óz, quelle que soit z appartenant au domaine d'existence 

 de U, et quelle que soit la fonction continue óz. On peut choisir les 

 expressions V <n) des seconds membres de telle sorte que la variation pre- 

 mière de TJ soit la limite des variations premières des V (n> . 



4. Les V (n) ont une variation première linéaire par rapport à óz. La 

 variation première de D, qui en est la limite, est donc distributive par rap- 

 port a óz. Comme elle est continue, elle est linéaire. D'où une condition 

 suffisante pour que la variation première d'une fonctionnelie soit linéaire: 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 42 



K 0 , K s , r. 



U|M| = lim vjr'IMI. 



<mj[*,^]| = ^u ( x =0) |[* + W]| 



