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Considérons la fonctionnelle U][f]| dè finte, réelle et continue, soit 

 dans Sì, soit dans i2(A , B). Supposons quelle admette une variation pre- 

 mière ó\i\\_2,dg~\\ continue par rapport à l'ensemble des fonctions z,óz, 

 quelle que soit z appartenant au domaine d'existence de U , et quelle que 

 soit la fonction continue óz. Cette variation première est linéaire par 

 rapport à dz. 



III. — REPRÉSENTATION D'UNE FONCTIONNELLE D'ORDRE ENT1ER. 



Désignons par Sì' l'ensemble des fonctions z(a) = x(a) -f- iy(a), définies 

 et continues pour toutes les valeurs de la variable réelle a . Déflnissons la 

 limite et l'écart pour les fonctions z(a) comme au paragraphe I . 



Nous dirons qu'une fonctionnelle U|[Y]| dérinie dans Sì' est d'ordre m, 

 si elle est continue, et si Uj [Xz -f- A'/] | est un polynome de degré m par 

 rapport aux nombres complexes X , X'. 



Si ce polynome est homogène de degré m , nous dirons que la fonction- 

 nelle est homo- gène d'ordre un. 



Si U||V]| est une fonctionnelle d'ordre m, on peut la mettre sous la 

 \ forme : 



u|0 II = u, + u, IMI + - + u,| wi + - + u M |[«]|, 



TJ 0 ètant une constante, JJ P une fonctionnelle homogène d'ordre p, qui 

 admet la représentation suivante: 



rn rn 



Up|M| = lim - K„(«! , ... , a p ) s(a l ) ... z(a p )da l ... da p , 



ìi — oc J — n J — n 



K n ètant une fonction complexe continue de p variables réelles. 

 En partieulier, Uj|[f]| étant une fonctionnelle linéaire: 



U, 1 0] | = lim ^ K n (a) z(a) da . 



IV. — CoNDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES POUR QU' UNE FONCTION- 

 NELLE DÉFINIE DANS Sì(k , B) SOIT LIMITE D'EXPRESSIONS (1), LA CON- 

 VERGENCE ÉTANT UNIFORME. 



Nous avons obtenu (II, 2) une représentation d'une fonctionnelle dérinie 

 dans SÌ(A. , B), en la supposant simplement continue. Dans cette hypothèse, 

 la convergence est uniforme, non pas dans tout le domaine, mais dans tout 

 ensemble compact de fonctions. Restreignant la généralité des fonctionnelles 

 considérées, le théorème suivant nous donne une représentation avec conver- 

 gence uniforme dans tout le domaine Si(A,B). 



