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Théorème. — Soit U|[V]| une fonctionnelle définie dans Si(k , B). 

 Pour quon puisse déterminer une mite 



(2) vp|[*j|,vp|M,...,v«r>iM| > ''.... 



tendant vers U)[f]|, ^ convergerne étant uniforme dans Sì(k , B), &7 /aw^ 

 ^ 27 sw/^ qu étant donné e positif, 



1°) ora puisse déterminer l et rj tels que, si et * 2 (a) satisfont 

 dans l'intervalle ( — 1,1) à l'inéc/alité \zi(a) — z 2 (a)\<^r], on ait |U|[/i]| 



-UIMIIO; 



2°) on puisse déterminer un intervalle ( — /' , l') et une division de 

 cet intervalle en intervalles partiels, tels que„ si Z\{a) , z % (a) ont méme va- 

 leur moyenne dans chacun d'eux, on ait |U;[^i]| — U|[^ 2 ]|[<C £ - 



La condition 1°) peut encore s'énoncer: que U|[/]j soit uniformément 

 continue dans J2(A,B). 



A) La condition est nécessaire. Je suppose que U soit limite d'une 

 suite (2), la convergerle étant uniforme; et je veux démontrer qu'elle sa- 

 tisfarò aux conditions 1°) et 2°). 



Soit s le nombre positif arbitraire. Je puis déterminer n tei que : 



(«) ito-^:mh<|. 



Je prends alors 1 = 1' = n. "Vjf'iMI Q e dépendant de s que dans l'in- 

 tervalle fini (—n,n), d'après le théorème démontré dans la deuxième Note 

 citée (') (I, 1), on peut déterminer >j tei que, si l'on a dans cet intervalle 

 |*i — SsK^, on ait aussi: 



et. en se reportant à l'inégalité («) : 



:UM!-UM!.<2^ + | = £ . 



On peut de mème déterminer une division de l'intervalle ( — n , n) en 

 intervalles partiels, tels que, si z L , s 2 ont méme valeur moyenne dans chacun 

 d'eux, on ait: 



ìv^Mì-v^M ! ì<|, 



(*) Dans cette Note, l'intervalle de variation de a est (0,1) et les fonctions z{a) 

 sont comprises entre deux constantes A et B. Mais le théorème s'étend immédiatement 

 au cas où l'intervalle (0,1) est remplacé par (— n,n) et les constantes A,B par A(er), 

 B(«). 



