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et, d'après (a) : 



|U|[Xj| -UiMi<2 i |-f- | = £ . 



B) La condition est suffisante. Je suppose que U satisfasse aux con- 

 ditions 1°) et 2°). Je me donne s positif, et je me propose de former une 

 expression V (/l) \\_z]\ telle que: 



|U'(Y]| — V^|M|l<e . 



A(a) -4- B(«) 



a) Je considère la fonction C(a) = ^ . Soit un intervalle 



( — 1,1), l étant un nombre positif quelconque. Je réserverai la notation 

 t(a) pour designer une fonction discontinue, égale, dans l'intervalle feruié 

 ( — 1,1), a une fonction continue comprise (au sens large) entre A(a) et 

 B(a), et égale à C(a) hors de cet intervalle. 



Soit h un nombre positif. Je designerai par 6 h {a) une fonction de 

 iì(À. , B) égale à t(a) hors des intervalles ( — / — h , — l) ,(l h), et 

 ayant, dans chacun de ces intervalles méme valeur moyenne que C(a) . 



Je démontre que si h tend vers 0, U|[0*]j tend vers une limite, que 

 j'attache à t{a) et que je note Ui[Y]| . 



b) Je remarque que U|J]| ne dépend que des valeurs de t(a) corres- 

 pondant à — / <. a . 



Je démontre ensuite qu'étant donne positif, on peut déterminer une 

 division de l'intervalle ( — l , /) telle que, si t x , t % ont mème valeur moyenne 

 dans chaque intervalle partiel, on ait |U|[^]; — U[tf 2 ]l<C f i- 



Puis, que U[[/]| est uniformément continue. 



c) Ces préliminaires établis, je puis déterminer un intervalle ( — n . n) 

 (n entier positif) tei que. si s x , z t diffèrent seulement hors de cet intervalle, 



on ait IUIMI — UjMil<| . 



À. toute fonction z(a) de fì{A. , B), je fais correspondre la fontion t(a) 

 relative à l'intervalle ( — n , n) et qui se confond avec z(cc) dans cet inter- 

 valle. On voit facilement que : 



(/») IU0]|-U|MH<|. 



Mais U|[.']| satisfaisant aux conditions b), d'après le théorème démontre 

 dans la deuxième Note citée (I, 1), je puis déterminer une expression: 



J,...,r rn rn 



K 0 -f- y ! ■• I K 3 («i , ... , a s ) z(a l ) ... z(a s ) da x ... da s 



s J —n J —n 



