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la successione delle costanti del nucleo K(x , y), e 



(2) (pi(x) , y> 2 (x) , ... , <p n (x) , ... 



(3) rpi(x) , %jj t {x) , ... , tj) n (x) , ... , 



la successione delle coppie di funzioni ortogonali dello stesso nucleo, per 

 le quali risulta: 



<p n {x) = X n K(x , y) ip n {y) dy 



ip n (x) = X n f K(y , x) <p n (y) dy ( l ) , 



J a 



A complemento di quanto è stato ivi detto sul modo di rappresentare 

 la soluzione generale della (1), mi propongo di far vedere, che si può co- 

 struire una funzione 



(4) 3»(a> , d, ,<*, ,...) , 



contenente, se il sistema delle funzioni ortogonali (3) non è chiuso, un in- 

 sieme finito o numerabile di costanti arbitrarie, soggette in quest'ultimo 

 caso alla condizione che converga la serie dei loro quadrati; in guisa che, 

 per valori comunque assegnati a tali costanti, la (4) rappresenti una solu- 

 zione della (1), sommabile insieme col suo quadrato, e che d'altra parte 

 ogni soluzione cosiffatta venga dalla (4) rappresentata, quando si fissino con- 

 venientemente le costanti medesime. Il numero delle costanti arbitrarie è 

 finito, se le (3) ammettono un sistema complementare finito, un sistema, 

 cioè composto di un numero finito di funzioni, che, aggregate alle (3), diano 

 luogo ad un sistema chiuso di funzioni ortogonali. 



1. Supposto il sistema delle funzioni ortogonali (3) non chiuso, s* in- 

 dichi con 



(5) *(*) (« = 1,2,...) 



una successione di funzioni, sommabili insieme coi loro quadrati, tali che 

 non esistano soluzioni effettive per le equazioni integrali 



b 6{x)to{x)dx = 0 (a = 1,2,...); 



r 



J a 



in particolare può considerarsi la successione 



Xi{x) = x^ 0 (*-=l,2,...), 



o un determinato sistema chiuso, qualsivoglia, di funzioni ortogonali. 



(') Cfr. E. Schmidt, Zur Theorie der linearen uni nichtlinearen Integralgleichun- 

 gen, Mathematische Annalen, Bd. LXIII (1906), Heft. 4, pag. 461. 



( a ) Cfr. C. Sederini, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali, 

 Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVI, 2° sem. 1913, § 10. 



