Mediante le (5), si eostruisca (*) per il sistema (3) un sistema com- 

 plementare : 



(6) . xp'ix) , ... , V» , ... 



È facile il vedere che ogni soluzione r)(x) delle equazioni integrali 



(7) f rj(x) xp n (x) dx = 0 (n=l,2, ...), 



J a 



cioè dell'equazione 



(8) < \\{x,y)r ì {y)dy = § , 

 è rappresentata dalla serie 



(9) rj(x) = Ux) + CVi(*) - T,(*)] , 

 ove 



/j. rx-i-h v rb 



(10) T v (^)=y.-^ ,P ^v)^)ds, 

 ed 



hi , ha , ... , , ... 



indica una successione, comunque scelta, di numeri positivi, decrescenti, 

 tendenti a zero; in particolare: che si ha anche 



(11) rj(x) = oj y'j(x) , Cj= f 17(3?) $(a?) rf* , 



J a 



se il sistema (6) è composto di un numero finito di funzioni, ovvero la 

 serie ^.j Cj ipj(x) converge nell' intervallo (a , b). A tal' uopo si osservi che, 

 convergendo in media la successione 



_ m 



S m (x) - Tj Cj ffa) (m = l,2, ...) , 



esiste una funzione rj(x), sommabile insieme col suo quadrato, unica e ben 

 determinata, se si eccettuano i punti di un insieme di misura nulla, per la 

 quale si ha: 



rb r~ m —12 



(12) lim vW — ljCjVM dx = 0, 



m=oo J a I 1 I 



ed alla quale compete ( 2 ) la rappresentazione 



(13) rj(x) = %(x) + [T^(x) - T„(*)] , 



( l ) Cfr. C. Severini, loc. cit. ( s ), § 9. 

 ( s ) Cfr. C. Severini, loc. cit. ( 8 j, § 9. 



