donde 



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ove T„(#) ha il significato dianzi detto; ed anche l'altra: 



( 1 4) Tj{x) = c ò M>'i (*) » Cj = f V] 0*0 ^ » 



se il sistema (6) è composto di un numero finito di funzioni, ovvero con- 

 verge la serie Cj ip'j(x). 

 Ma si ha, da un canto: 



f Vi») f'j{x)dx = Cj (j = 1 , 2 , ...) , 



(15) f & [>,(*) - ^)] VK») ^ = 0 (> = 1,2, ...) ; 

 e, d'altro canto: 



I rj(x) xp n {x) dx = 0 (n = 1 , 2 , ...) , 



J a 



e quindi 



(16) f \ji{x) — v{x)-]rp n {x)dx = 0 (n = ì, 2 ,...). 



J a 



La (15) e la (16), essendo il sistema formato dalle (3) e dalle (6) chiuso, 

 ci dànno: 



v (x) = Tj{x) , 



e però dalla (13) segue la (9), e, quando ne sia il caso, dalla (14) la (11). 



Viceversa, se si coordina alle funzioni (6) una qualsivoglia successione 

 di numeri: 



di , di , ... dj , ... 



tali che, se le (6) non sono in numero finito, converga la serie 

 (!7) Tjdh 



e s' indica con rf(%) la funzione alla quale converge in media la successione 



m 



S' m (x) = Xj d jfj(*)' (m = l,2,...) 



i 



si trova, come precedentemente: 



f rf{x) ip n (x) dx = 0 (n = 1 , 2 , ...) ; 



J a 



e per conseguenza la funzione rf(x) è una soluzione delle equazioni inte- 

 grali (7), per la quale si ha: 



(18) V '(x) = T t (x) + X, [T^i(.r) - TJ(*)] , 



