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in cui 



//. rx+k v 



T W=I;^T V'Ax)dx (r = l,2,...); 



ed anche : 



Da quanto è stato dianzi detto si ricava il seguente risultato: 



Se il sistema delle funzioni ortogonali (3) non è chiuso, la soluzione 

 generale delle equazioni integrali (7), o, ciò che è lo stesso, dell'equa- 

 zione (8), è rappresentata dalla serie (18), ove le dj sono eostanti arbi- 

 trarie, soggette, quando non sono in numero finito, alla condizione che 

 converga la serie dei loro quadrati. Nel caso che le (6) siano in numero 

 finito, la detta soluzione generale è anche rappresentata dalla (19). 



2. Dalle considerazioni del § precedente segue l' unicità del sistema 

 complementare di un dato sistema non chiuso di funzioni ortogonali, nel senso 

 che, trovato un sistema complementare, ogni altro sistema complementare, o 

 meglio ogni altra soluzione effettiva delle corrispondenti equazioni integrali, 

 si può, come è stato detto, da quello dedurre L'osservazione presenta spe- 

 cialmente interesse nel caso che esista un sistema complementare finito, nel 

 qual caso, esprimendosi le soluzioni delle dette equazioni linearmente ed 

 omogeneamente per mezzo delle funzioni di questo sistema, si deduce che 

 il numero delle funzioni componenti un sistema complementare è costante, non 

 dipende cioè dal modo col quale il sistema complementare viene realizzato. 



Riferendoci al sistema (3), e detto p il numero (supposto finito) delle 

 (6), se potesse esistere un altro sistema complementare 



contenente più di p funzioni, si potrebbero scrivere p -f- 1 relazioni della 

 forma : 



dalle quali, eliminando le (6), si dedurrebbe una relazione almeno, lineare, 

 omogenea, a coefficienti costanti, fra le (20) : il che è impossibile, essendo 

 le (20) fra loro ortogonali. 



Analogamente si prova che non possono le (20) essere in numero mi- 

 nore di p. 



(') Cfr. G. Lauricella, Sulla chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali e dei 

 nuclei delle equazioni integrali, Eendic. della R. Accad. dei Lincei (Roma), voi. XXI, 

 serie 5 a , 1° sem. 1912. 



(20) 



tft['(x) , 1p'i{x) , ... , lpr(x) , ... , 



P 



Rendiconti. 1914 Voi. XXIII, 1° Sem. 



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