Nel caso che il sistema complementare (6) sia finito, abbiamo visto 

 che la soluzione generale delle equazioni (7) è rappresentata dalla (19), 

 e dipende linearmente ed omogeneamente da un numero finito di costanti 

 arbitrarie. È facile vedere che sussiste la proprietà inversa. Si ammetta, 

 infatti, che la soluzione generale delle (7) sia rappresentata da 



(22) f r cl' r g r {z), 



i 



ove le d',. sono costanti arbitrarie, e quante si vogliano dolle funzioni 



(23) g r {x) m (r = l, 2, ... ,>)•, 



che si intendono sommabili insieme coi loro quadrati, comunque scelte, ri- 

 sultano sempre linearmente indipendenti. La medesima soluzione generale 

 sarà anche rappresentata da 



i 



le funzioni 



(24) h s {x) (s = 1,2,. ..',#)., 



essendo dedotte dalle (23) mediante ortogonalizzazione ('); ed è bene evi- 

 dente che il sistema (24) è complementare per il sistema (3). 

 Da quanto precede, si ricava il seguente risultato : 



Se il sistema delle funzioni ortogonali (3) non è chiuso, affinchè 

 la soluzione generale delle equazioni integrali (7), cioè dell' equazione (8), 

 sia rappr 'esentata da una espressione della forma (22), ove le g r {x) sod- 

 disfano alle condizioni sopra dette, e dipe-ida quindi linearmente ed 

 omogeneamente da un numero finito di costanti arbitrarle d' r , è neces- 

 sario e sufficiente che il sistema delle funzioni ortogonali (3) ammetta 

 un sistema complementare finito. Il numero delle costanti arbitrarie è 

 allora fisso, ed eguale al numero delle funzioni componenti un sistema 

 complementare. 



3. Dal risultato del § 1, e da quanto è stato detto nella Nota I ( 2 ), 

 segue per l'equazione integrale di prima specie (1) quest'altro teorema : 



Supposte verificate le condizioni occorrenti, indicate nella Nota I 

 (§§ 1 e 2), se il sistema delle funzioni ortogonali (3) non è chiuso, e con 



(6) xf)[(x),tp' z (x) ì ...,f , j(x),.'.. 



(') Cfr. E. G-oursat, Recherches sur les équations intégrales lìnéaires, Annales de 

 la Paculté des Sciences de l'Université de Toulouse, IP sèrie, tome X (1908), pp. 5-98. 

 pag. 50. 



0 Loc. cit. ('). 



