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s'indica un suo sistema complementare ; la soluzione generale della (1) 

 è rappresentata dalla serie 



W[{x) + X, [W; +I (a;) — WJ(a>)] , 



ove 



1 roc+h v 



w „W = 2-»^r [/„ a n y n (x) + rf M V»(«)] dx , 



"'tv «-/«e— ftv 

 a n = f /"(a?) ^n(^) ffo , 



essendo costanti arbitrarie, soggette, quando non sono in numero finito, 

 alla condizione che converga la serie dei loro quadrati, e le 



hi , ho , ... , h n , ... 



quantità positive, comunque scelte, decrescenti, tendenti a zero. 



Nel caso che le (6) siano in numero finito, la detta soluzione gene- 

 rale è anche rappresentata dalla serie 



IL» + Y v [Uv + i(#) - U„(a?)] + Xj d J V#s) , 



oc— hv 



In fine, se il sistema delle funzioni ortogonali (3) è chiuso, l'unica solu- 

 zione della (1), sommabile insieme col suo quadrato, è data dalla serie 



(25) u,(a;) + y v [U v+1 (^) — U,(^)]. 



4. La condizione caratteristica, per le equazioni integrali di prima 

 specie (1), le cui soluzioni generali dipendono linearmente da un numero 

 tìnito di eostanti arbitrarie, è fornita dal risultato del § 2. 11 teorema che 

 se ne ricava è il seguente: 



Sotto le condizioni dei teoremi enunciali nella Nota I (§§ 1 e 2), 

 l'equazione (1) ammette un'unica soluzione, sommabile insieme col suo 

 quadrato, se il sistema delle funzioni ortogonali (3) è chiuso ; e viceversa. 

 Se questo sistema non è chiuso, affinchè la soluzione generale della (1) 

 siu rappresentata da una serie, ottenuta aggiungendo alla serie (25) una 

 espressione della forma (22), ove le g r {%) soddisfano alle condizioni sopra 

 dette, e dipenda quindi linearmente da un numero finito di costanti ar- 

 bitrarie d' r , è necessario e sufficiente che il sistema delle funzioni orto- 

 gonali (3) ammetta un sistema complementare finito. Il numero delle 

 costanti arbitrarie è allora fisso ed eguale al numero delle funzioni, 

 componenti un sistema complementare. 



4. Le considerazioni dianzi svolte si applicano con vantaggio nella ri- 

 cerca delle funzioni permutabili di seconda specie con una funzione data. 

 Di ciò mi propongo di occuparmi in una prossima Nota. 



