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tripli di superficie nei quali ciascuna superficie viene intersecata dalle su- 

 perficie delle altre due famiglie secondo le linee di un sistema coniugato. 



Si vede, invero, che colle deformate di qualunque quadrica si possono 

 costruire, ed in grande arbitrarietà, famiglie di tali superficie applicabili 

 sulla medesima quadrica, o, più in generale, su quadriche differenti, e che 

 appartengono a sistemi tripli coniugati dotati di particolari proprietà, che 

 sono la naturale estensione di quelle ben note per le famiglie di Lamé a 

 curvatura costante. Precisiamo le accennate proprietà supponendo che nel 

 sistema triplo coniugato 



u = cost , V = cost , w = cost , 



le superficie w = cost siano quelle applicabili sopra quadriche; allora ab- 

 biamo : 



1°) La corrispondenza segnata su due qualunque superficie w — cost 

 dalle linee (io), intersezioni delle altre due famiglie, conserva i sistemi 

 coniugati. 



2°) Il sistema coniugato (u,v), intercettato sopra ciascuna «;=cost 

 dalle superficie delle altre due famiglie, è quello coniugato permanente 

 (cioè quello che si conserva coniugato applicando la io = cost sulla cor- 

 rispondente quadrica). 



Allorquando le quadriche Q, su cui sono applicabili le e# = cost, si 

 suppongono altrettante sfere (reali od immaginarie), il sistema coniugato 

 permanente è quello ortogonale delle linee di curvatura, ed il sistema triplo 

 coniugato diventa un sistema triplo ortogonale. 



Rispetto alle trasformazioni B h della teoria generale per le deformate 

 delle quadriche, i sistemi tripli coniugati ora considerati si comportano pre- 

 cisamente come i sistemi tripli ortogonali di superficie a curvatura costante 

 rispetto alle trasformazioni di Backlund, sussistendo la proprietà seguente: 



Da ogni sistema triplo coniugato, con una famiglia di deformate 

 di quadriche, le trasformazioni B ft fanno derivare infiniti altri sistemi 

 della stessa specie, le cui singole superficie della nuova famiglia sono 

 legate alle corrispondenti dell' antica da una tras formazione B ft . La tras- 

 formazione per l'intera famiglia è individuata quando si fissi, del resto 

 ad arbitrio, per una singola superficie della famiglia. 



Aggiungo, in fine, che anche per le trasformazioni B k dei nostri sistemi 

 tripli coniugati vale il teorema di permutabilità, dal quale risultano, per 

 l'applicazione ripetuta del processo di trasformazione, le solite semplifica- 

 zioni. 



2. Non è mio proposito, nè sarebbe possibile in una breve Nota pre- 

 liminare, entrare negli effettivi sviluppi relativi al caso generale. Soltanto 

 dirò che la costruzione dei nuovi sistemi tripli coniugati si può ottenere 

 dalla ripetizione continua di trasformazioni infinitesimali, seguendo i con- 



