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cetti che ho avuto occasione di esporre in un recente lavoro ( 1 ). La natura 

 di queste trasformazioni infinitesime, che diremo T £ , risulta dalle conside- 

 razioni seguenti: 



Sopra una superficie S, applicabile sopra una quadrica Q, consideriamo 

 il sistema coniugato permanente (u , v). Ogni punto P di S riceva uno spo- 

 stamento infinitesimo che lo porti in un punto corrispondente P', per modo 

 clie : 



1°) la superficie S', luogo di P', sia applicabile alla sua volta sulla 

 stessa quadrica Q, ovvero sopra un altra (infinitamente poco diversa); 



2°) ad ogni sistema coniugato sopra S corrisponda un sistema co- 

 niugato sopra S'; 



3°) le sviluppabili della congruenza formata dalle congiungenti 

 PP' ì punti corrispondenti, taglino tanto S quanto S' nelle linee del si- 

 stema coniugato permanente. 



Se queste condizioni sono soddisfatte, il passaggio da S ad S' si dirà 

 una trasformazione infinitesima T c della S. 



Ora si riconosce che, per qualunque superficie S, deformata di una 

 quadrica, esistono infinite tali trasformazioni infinitesime dipendenti da co- 

 stanti arbitrarie. Mediante una successione continua di trasformazioni infi- 

 nitesime T e , vengono a generarsi i nostri sistemi tripli coniugati, precisa- 

 mente come la costruzione infinitesimale di Weingarten per le superfìcie a 

 curvatura costante, ripetuta in modo continuo, dà luogo ai sistemi tripli 

 ortogonali con una famiglia di queste superficie. 



Qui consideriamo una classe particolare di trasformazioni infinitesime 

 T £ , ma che esistono per qualunque superficie S deformata di una quadrica. 

 Per ciò applichiamo alla S una trasformazione B ft singolare, corrispondente 

 adunque ad una conica focale r, e sia Si una delle superficie trasformate. 

 La medesima trasformazione singolare B ft , applicata alla Si, dà luogo ad 

 una serie co 1 di trasformate, tra le quali vi ha la S stessa. Diciamo S' la 

 superficie di questa serie successiva alla S; il passaggio dalla S alla S' 

 avviene appunto per una T s , giacché tutte le condizioni sopra enumerate 

 sono qui soddisfatte, colla ulteriore particolarità che S , S' sono applicabili 

 sulla medesima quadrica. Ogni superficie S ammette oo 1 di tali trasformazioni 

 infinitesime T s , poiché, data la S, la Si resta arbitraria in una serie oo 1 . 

 Per le oo 1 trasformazioni infinitesime T £ ogni punto P di S riceve oo 1 spo- 

 stamenti, le cui direzioni formano un cono col vertice in P, che è facile di 

 caratterizzare geometricamente. Per questo, basta ricorrere alla legge di affi- 

 nità di Ivory e immaginare che la quadrica Q, rotolando sulla superficie 

 applicabile S, venga a toccarla in P; allora si vede che: 



0) Ved. la prefazione alla Memoria: Sulla teoria delle trasformazioni delle curve 

 di Bertrand e delle superficie pseudosferiche, Memorie della Società dei XL, serie 3 a , 

 tomo 18 (1913). 



