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Gli spostamenti impressi dalle oo 1 trasformazioni infinitesime T e 

 od un punto P della S, avvengono secondo le generatrici del cono qua- 

 drico che projelta da P la conica focale r, nella posizione che questa 

 acquista dopo il rotolamento. 



È bene evidente che le particolari trasformazioni infinitesime T 6 qui 

 considerate, generano sistemi tripli coniugati, nei quali le superficie di una 

 famiglia sono tutte applicabili sulla medesima quadrica. 



3. Come ho sopra accennato, la trattazione analitica dei nostri sistemi 

 tripli coniugati, in generale, richiede ulteriori considerazioni e sviluppi di 

 calcolo, che sono da riservarsi a più ampia pubblicazione. Nella presente 

 Nota mi limiterò a considerare tre casi più semplici, nei quali l'esistenza 

 dei sistemi tripli coniugati e le formole relative si deducono facilmente 

 dalle famiglie di Lamé di superficie a curvatura costante, dalle quali ven- 

 gono a dipendere in modo geometrico assai semplice. 



Il primo dei casi che vogliamo considerare è quello dei sistemi tripli 

 coniugati con una famiglia di superficie deformate di quadriche di rotazione. 

 Nelle mie ricerche del 1899 sulla inversione dei teoremi di Guichard (') 

 ho dimostrato (al cap. IV, Mem. cit.) che ai sistemi tripli ortogonali con 

 una serie di superficie costante, positiva o negativa, sono applicabili quelle 

 trasformazioni reali composte di due trasformazioni opposte di Bàcklund, 

 reali o puramente immaginarie, che nascono dalla inversione dei teoremi di 

 Guichard. 



Siano (2) , (2') due tali famiglie di Lamé di superficie a curvatura 

 costante K, potendo K essere una costante assoluta, ovvero variabile colla 

 superficie nella famiglia. Si sa che le normali a due superficie corrispon- 

 denti 2 , 2', in una coppia qualunque P , P' di punti corrispondenti, si in- 

 contrano in un punto P 0 equidistante da P , P' ; e se si fa variare la coppia 

 (P , P') sulle due superficie 2, 2', il punto P 0 descrive una deformata S 0 

 di una quadrica di rotazione, ed alle linee di curvatura di (2,2') corri- 

 sponde sopra S 0 il sistema coniugato permanente. Se facciamo variare 2 

 nella famiglia (2) [corrispondentemente 2' in (2')~], la S 0 descriverà alla 

 sua volta una famiglia (S 0 ) di superficie applicabili sopra quadriche rotonde ; 

 queste quadriche coincideranno se K è una costante assoluta, e saranno in- 

 vece diverse per K variabile. Ora si verifica che : 



La famiglia (S„) di deformate delle quadriche rotonde appartiene 

 appunto ad uno dei nostri sistemi trilli coniugati. 



Nel caso attuale è anche facile riconoscere l'esistenza delle trasforma- 

 zioni B fe per le famiglie (S 0 ) (cfr. n. 1). E infatti, con una trasformazione 

 arbitraria di Backlund, la coppia (2) , (2') di famiglie di Lamé si cangia 



(') Ved. la Memoria, Sulla teoria delle trasformazioni delle superficie a curvatura 

 costante, Annali di matematica, ser. 3 a , tom. III. 



