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in un'altra coppia che diciamo (2) , ( 2') nelle medesime condizioni. Questa 

 ultima determina alla sua volta una nuova famiglia (S 0 ) di deformate delle 

 medesime quadriche rotonde, appartenente ad un triplo coniugato ; ed ora sus- 

 siste la proprietà: 



Le singole superficie S 0 ,S 0 , corrispondenti nelle due famiglie (S 0 ), 

 (S 0 ), sono trasformate l'una dell'altra per una B ft . 



4. Diamo ora le formole effettive per questi sistemi tripli coniugati 

 con una famiglia (S 0 ) di deformate di quadriche rotonde. 



Per questo, partiamo da un sistema triplo ortogonale (u ,v,w) nel quale 

 le w = cost siano a curvatura costante K , dove K sarà, in generale, varia- 

 bile con w. Per fissare le idee, prendiamo p. es. il caso di K positiva 



K = ^ , B, = R(w), 



e riferiamoci alla nota forma dell'elemento lineare dello spazio 



(1) ds 2 = senh 2 0 du 2 -f cosh 2 0 dv 2 + R 2 dio 2 , 



dove 6 = 6(u ,v ,w) dovrà soddisfare al corrispondente sistema di equazioni 

 a derivate parziali (di Lamé), che qui per brevità omettiamo di scrivere. 



Si sa che le trasformazioni del sistema triplo ortogonale (u , v , w), di 

 cui è parola al n. precd., dipendono da un sistema lineare omogeneo di 

 equazioni differenziali in una quaderna 



0> , A , M , W 

 di funzioni incognite di u,v ,io , che si scrive : 



^ senh..^ , ^- = cosh*.M . ^=R^-W 



(a) 



~òU ' ~ÒV ' ~~òW ~òW 



^ = _^M-f-< ? senhfl.<& - cW + 1 cosh 6. W , 

 Du Dv 1 R 



DA Dd^ DA R D 2 0 TX7 



== — M , = — — W 



Dv Du Dw senh 6 ~òu Dw 



7>M Dtì DM. 26 , . , - cR 2 +l . . _ 



= — A , = — — A 4- c cosh 6 . Q> 7=r— senh 0. W, 



Du Dv Dv Du R 



DM R D 2 d 



- . w 



Dw cosh 0 ~òv Dw 



DW _ cosh 6 ^ 7TW _ senh 6> 

 Du R ~~ R 



(,R 2 + 1)^ = - tf RR'.W + C R^-W-^--^-^- 



' 7>w senh 6 puDw 



B Ve M, 



cosh 6 DvDw 



