— 388 — 



dove c è una costante arbitraria, e si è posto 



die 



II sistema (a) è illimitatamente integrabile e possiede V integrale qua- 

 dratico 



(2) ^ 2 + M 2 — ^ 2 + ( tf R 2 +l)W 2 = cost; 



e noi assumiamo la quaderna (<t> , A , M , W) di soluzioni per modo che la 

 costante nel secondo membro della (2) sia nulla, e si abbia quindi identi- 

 camente 



(2*) ^_f_M 2 — cf 2 + (cR 2 + 1) W 2 = 0. 



Una tale quaderna (<t> , A , M , W) fìssa appunto una delle indicate 

 trasformazioni; ma a noi qui interessa soltanto di scrivere le formolo che 

 assegnano le corrispondenti superfìcie S 0 applicabili sopra quadriche rotonde 

 (ellissoide allungato, ovvero iperboloide a due falde). Indicando con (x,y,z) 

 un punto qualunque (u ,v ,w) dello spazio, con X 3 , Y 3 , Z 3 i coseni della di- 

 rezione principale (w), e con x 0 , y 0 , 2 0 le coordinate del punto corrispon- 

 dente di S 0 , abbiamo 



<P (P 



(3) x 0 = x X 3 , y 0 = y , «o = z W ^ 3 ' 



Verifichiamo che queste definiscono in effetto un sistema triplo coniu- 

 gato (u,v,w), chè le altre proprietà descritte al n. 1 ne seguono imme- 

 diatamente. 



5. Per dimostrare che le (3) definiscono un sistema triplo coniugato 

 bisogna provare (Darboux, loc. cit.) che x 0 , y 0 , s 0 sono tre soluzioni di un 

 sistema simultaneo di equazioni (di Laplace) della forma 



l> 2 tp _ ~ò log H t ~òip ì log H 2 iip 



"òu ~òv ~òv ~òu ~òu ~ÒV 



l> 2 ip ìlogH 2 ~òtp DlogH 3 tip 

 (a) { = -1 



l>Vl>W 1)W ~ÒV 1)V 1)W 



1*tp _ j log H 3 ~òxp D log H) ~ìxp 

 ~òu 7>w ~òu !>w ~òw ~òu ' 



ove Hi , H 2 , H 3 sono tre convenienti funzioni. 



Per questo si comincino a formare le derivate prime, rapporto ad u , 

 v,w, delle (3), tenendo conto delle forinole (a), e delle equazioni a cui 

 soddisfano i coseni 



(X,,!,,^) , (X 2 ,Y 2 ,Z 2 ) , (X 3 ,Y 3 ,Z 3 ) 



