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delle tre direzioni principali nel sistema triplo ortogonale (1). Si trovano 

 così le seguenti formole: 



~òx 0 RW senh 0 — 0> cosh 6 ^ . 



( VVAi — ^A 3 ) 



Du RW 2 



~òx 0 RW cosh 6 — 0> senh 6 

 Dy ~ RW 2 



(WX 2 — MX 3 ) 



-òxp _ <P ( R D 2 0 x R 7) 2 fl ■ DlogW x ) 

 ~òw W ^ senh 6 -)u~òw 1 ~*~ cosh S^vlìto 2 ' ino 3 ) ' 



colle analoghe per «/ 0 > £o • 



Dopo ciò, se si calcolano le derivate seconde (miste) di 



si vede che queste sono, in effetto, tre soluzioni di un sistema (a), quando 

 R 1 , Ho , H 3 si assumano dati da 



H, = senh 6 — := cosh 0 , H 2 = cosh e — — - T senh 6 , H 3 = — . 



a w jti w w 



Dunque : le formole (3) definiscono un sistema triplo coniugalo, c. d. d. 



6. La seconda classe di sistemi tripli coniugati, con una famiglia di 

 deformate di quadriche, che vogliamo considerare, si ottiene molto più sem- 

 plicemente dalle famiglie di Lamé a curvatura costante con una costruzione 

 in termini finiti. Le quadriche di cui qui si tratta, sono le quadriche im- 

 maginarie (osculanti l'assoluto) di equazione 



(4) f + z % + (x — y + t&Y = ^ (K costante) . 



Al § 447 delle Lezioni è ottenuta l'accennata costruzione per le su- 

 perfìcie reali applicabili sulle quadriche immaginarie (4) appunto partendo 

 dalle famiglie di Lamé a curvatura costante. Ora, colle nuove nozioni sui 

 sistemi tripli coniugati, possiamo completare la costruzione colla proposizione 

 seguente : 



In ogni famigtia (2) di Lamé di superficie a curvatura costante K 

 {variabile in generale con 2), i piani osculatori, nei punti di una super- 

 ficie 2, delle curve traiettorie ortogonali della famiglia,, inviluppano una 

 superficie S applicàbile sulla quadrica (4); quando I descrive la fami- 

 glia (2) di Lamé, la S descrive ima famiglia (S), appartenente ad uno 

 dei nuovi sistemi tripli coniugati 



Per la dimostrazione si consideri ad esempio il caso di una famiglia 

 (2) di Lamé a curvatura costante positiva, per la quale valgono le formule 



