— 393 — 



Matematica. — Sulle equazioni alle derivate funzionali. 

 Nota del Socio Vito Volterra. 



1. Nella classi tìcazione dei problemi che dipendono dai concetti di fun- 

 zioni di linee, dopo quelli di tipo algebrico (equazioni integrali ed equazioni 

 funzionali) vengono le equazioni integro-differenziali e le equazioni alle 

 derivate funzionali. Fra queste ultime di speciale interesse sono quelle che 

 appartengono al tipo delle equazioni ai differenziali totali, che vennero in 

 modo particolare studiate; ma conviene segnalarne altre di diverso tipo che 

 pure è utile di esaminare. È ciò che mi permetto fare in questa brevissima 



Nota, limitandomi a darne degli esempi. 



1 



2. Denotiamo con F| [/(#)] | una quantità che dipende da tutti i valori 



o 



di f(x) nell'intervallo 0,1 , che sia derivabile e non abbia punti eccezio- 

 nali (*). 



Vogliamo che essa soddisfi alla condizione 



(i) r/^)F'i[/(x),j]i^=o, 



ove F'|[/(cc) , £]| denota la derivata di F | [/(#)] | eseguita nel punto £. 

 Troviamo facilmente che la funzione 



CI 



ove con <t> si denota una quantità che dipende in modo arbitrario da 

 f(x) 



— — , ed è continua derivabile e senza punti eccezionali, soddisfa 



f 



f{t) # 



'0 



alla (1). Reciprocamente se F soddisfa la (1) essa può mettersi sotto la forma 

 precedente, perchè non deve cambiare moltiplicando f{x) per una costante 

 qualunque. 



La (1) rappresenta una delle equazioni del nuovo tipo. 

 3. Consideriamo 



F|[«,/"(ì)]| 

 o 



ove F dipende dal parametro a e dai valori di f(x) in tutto l'intervallo 

 0,1 e non ha punti eccezionali. Esaminiamo la equazione 



(2) ^+ fVlCa ,/(»), Q| # fy(M)/07)<fy = 0, 



(') Volterra, Legons sur les fonctions de lignes. Paris, Gauthier-Villars, 1913, pag. 29. 



