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metro a, <P resulterà una funzione ordinaria del parametro stesso. In par- 

 ticolare si sostituisca per 6{x) , *P(<# , «) ; resulterà allora cP una quantità 

 che dipenderà da tutti i valori di f(x) per x compreso fra 0 e 1, e sarà 

 una funzione ordinaria del parametro a, cioè avremo (*) 



(I) F |0 , f(x)-]\ = <P | [/(*) + j\(x , 1^1 a) f(rf) drj j | . 



Proviamo adesso che la (I) soddisfa l'equazione (2). La verifica è molto 

 semplice. Deriviamo <D|[0(a?)]| per rapporto a 0(x) nel punto f : otterremo 

 una quantità che oltre dipendere da 6(x) è una funzione di f. Scriviamola 

 per semplicità #>'(£)• Calcoliamo ora óF. Resulterà 



quindi 



F' |[« , /(*) , ri'| = <*'($) + Vft) Afo , f | «) rf? 



Onde il primo membro della (2) si scriverà, sostituendovi le espressioni pre- 

 cedenti 



(4) fV@)# Cf{v)dvX 



x [ ^ ( *'J ?|g) + rt* . *)) , t| «) »(C , 7) #J • 



(') Se per esempio prendiamo 



o Jo 



ove A(#) è una certa funzione determinata, sarà 



F , «]| = f 1 A(a;) V\x ,a)dx. 

 o 7o 



Se prendiamo invece 



1 ri ri 



*PU)]|= H(%,y)0{x}6{y)dxdy 

 0 ^/o Jo 



sarà 



i ri ri 



F|[/'(^) . «)]| = f*(oc . y) W{x , «) V(y , a) dxdy , 



0 Jo Jo 



e così di seguito. 



