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dove le , p^ , q[ 1} , §f > sono costanti. È implicitamente inteso che il de- 

 terminante 



D = 



q ( i ] q? 



sia diverso da zero. 



Il sistema (1) si trasformerà, allora, in un sistema nelle y a \ sistema 

 che intenderò risoluto rispetto alle derivate delle y (ì) medesime. Allora, 

 designando con p{\ } e p$ i coefficienti rispettivi di y[ ì] ed y[ l) nelle prime 

 due equazioni del sistema cos'i trasformato, resulta che, ponendo 



(6) p^pV = p il) , p^qV = u aì , pPqP = v m , q{ X) q¥ = , 

 avremo 



( pftV =PnU w - p 2l p ( » +p ì2 q w — p 22 v™ 

 \ p^D^p^p 1 » — p^+p^» — p„q™. 



Mediante addizione delle (7) fra loro, si ha 



(Y,V -I- pè») D = ( Pil +p, 2 ) (««> - »»>) . 



Ma 



u m — v lv = T), 



dunque 



(8) MV+^y=^i+^; 



come resulta pure dalla teoria degli invarianti delle equazioni differenziali 

 lineari ('). 



La (8) rappresenta l'unica condizione, alla quale dovranno soddisfare i 

 nuovi coefficienti pfl e p$: cioè, scelti p$ e p$ in modo che la (8) sia 

 soddisfatta, esisterà sempre una sostituzione del tipo considerato, che porta 

 il sistema (1) in un sistema nelle y u \ nel quale i coefficienti di y[ l) e di y 2 X) 

 saranno rispettivamente le costanti di p§ e pi\ scelte. Infatti, la coesistenza 

 delle (6) richiede p nì q llì = u (v v (1 \ cioè 



(9) p M = w x v aì , tt (1> = toij fl) , 



dove w\ è arbitraria. Sicché, assegnato a D un valore diverso da zero, ma, 

 del resto, qualunque, le (7) diventano, in u m e v (1 \ le seguenti equazioni: 



\ (Pn m +7^12) « a) — {p u ic\ +jo 88 «?i) v a) = w^ll'D 



(10) 



I (Vìi IV 1 — p ì9 ) U w 4" (Pti wì — pn Wx) V m = Wx p ( £ D , 



(') Per la bibliografia relativa a cotesta teoria, vedasi, p. es., Pincberlu e Arnaldi, 

 Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'analisi, Bologna, 1901, pag. 474. 



