Sicché, denotando, col sistema (5), l'ultimo sistema, al quale conducono quelle 

 successive trasformazioni, resulterà 



qu optiti Qì2 



— P22 ì ••• ì Qnn 



Ora, osservando che 



q\i + ?22 H h $W =Pu +j>«t H hi 5 . 



nn 



rappresenta, in virtù delle precedenti considerazioni, l'unica condizione, alla 

 quale devono soddisfare le qu (i —1 , 2 , ... , resulta chiaramente che, 

 qualora sussista la (4), si può sempre ottenere che nel sistema (5) tutte 

 le qu («==1,2,..., n) siano negative. 



Infine, qualora, in corrispondenza del sistema (5), resulti soddisfatto 

 qualcuno dei criteri da me dati, le soluzioni del sistema stesso saranno 

 certamente stabili e, quindi, tali saranno anche quelle del sistema (1), 

 giacché la stabilità non si perde attraverso sostituzioni lineari a coefficienti 

 costanti. 



Matematica. — Sur les fonctionnelles d'ordre entier d'ap- 

 proximation. Nota di R. G-ateaux, presentata dal Socio V. Volterra. 



Désiguons par Sì l'ensemble des fonctions réelles z(a) de la variable 

 réelle « définies et continnes pour 0 <- a <. 1 et telles que o <_ z (a)r^ 1 .f 



Soit U[[s]| une fonctionnelle détìnie, réelle et bornée dans Sì. Nous 

 nous proposons de déterminer une fonctionnelle d'ordre n d'approximation 

 de U|[Y]|, c'est-à-dire une fonctionnelle V|[^]| d'ordre n, telle que, si V'|[^][ 

 est une autre fonctionnelle d'ordre n. on ait: 



On voit immédiatement qu'on peut se borner aux fonctionnelles d'ordre n 

 réelles et c'est ce que nous ferons par la suite. 



Lemme. — Tout ensemble de fonctionnelles d'ordre n bornées dans 

 leur ensemble dans Sì est compact: c'est-à-dire que de tonte infinità d'entre 

 elles on peut extraire une suite tendant (uniformément ou non) vers une 

 limite. 



D'après un théorème de M. Fréchet (Sur quelques points du calcul 

 fontionnel, n° 19, Circolo matematico di Palermo, L906), il suffit pour cela 

 que les fonctionnelles de l'ensemble soient bornées et également continues 

 en toute fonction z. 



I. — Préliminaires. 



maximum | U | [z~] \ — V| [f\ \ \ <- maximum | U | \_z~] \ — V'| [f\ 



