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La première condition est satisfaite par hypothèse. Quant à la seconde, 

 on démontre sans difficulté que les fonctionnelles de l'ensemble sont égale- 

 ment continues dans tout le champ Sì. 



II. — EXISTENCE ET PROPRIETÉS DES FONCTIONNELLES 



d'orde n d'approximation. 



Théorème. Toute fonctiomelle U|[Y]| dé/Ìnie J réelle et bornée dans Sì 

 admet une fonctionnelle d'ordre n d'approximation. 



Utilisant le lemme précédent, on établit ce théorème par la méthode 

 qu'a exposée M. Borei pour les fonctions d'une variable (Fonctions de va- 

 riables réelles, page 82). 



Théorème. 77 existe des fonctionnelles U|[f]| admettant plusieurs fonc- 

 tionnelles d'ordre n d'approximation J méme si ces fonctionnelles U|[Y)| 

 sont assujetties à étre uniformément continues. 



Ce théorème est une conséquence immediate du théorème correspondant 

 démontré par M. Tonelli (Annali di Matematica pura ed applicata, 1908), 

 pour les fonctions continues de deux variables qui sont des fonctionnelles 

 uniformément continues particulières. L'exemple suivant est plus simple que 

 celui qu'a formé M. Tonelli. 



Rappelons d'abord une remarque de cet auteur. Soit la fonctions ~F(x,y) 

 définie et continue pour a<.x^b,c<^y<-d. Soit y une valeur parti- 

 culière de y , n n (x) le polynome de degré n d'approximation de F(# , y), 

 fi le maximum de \F(x ,y) — n n (x)\. 



Soit n n (x , y) un polynome de degré n d'aproximation de F(# , y) et 

 fi' le maximum de j F(cc , y) — Jl n (x , y)\ . 



On a nécessairement fi' ^ fi. Il en résulte que si, par un moyen quel- 

 conque, on trouve un polynome Y(x , y) de degré n tei que |F(# , y) — F(x , y)\ 

 <. fi , V(x , y) est nécessairement un polynome de degré n d'approximation. 



Venons maintenant à notre exemple. Nous allons définir, dans le do- 

 marne <. y <; "'i , une fonction continue ¥(% , y) admettant 

 plusieurs polynomes de degré n d'approximation. 



Soient f{x) une fonction continue pour et qui ne soit pas 



un polynome de degré n ; n n (x) son polynome de degré n d'approximation ; 

 fi le maximum de \f(x) — n n (x)\. Posons: 



¥(x , y) = f{x) + y\TI n {x) - )] . 



Considérons les polynomes de degré n: 



U n {x , y) = n„(x) + ly . 



Il suffit de forai er la différence ~F(x , y) — H n {x , y) pour constater que 

 son modulo reste inférieur ou égal à fi tant que | X | <. fi . Tous les poly- 

 nomes II n (x , y) pour lesquels \X\ fi sont donc d'approximation. 



