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Continuità de la correspondance. — Si la coirespondance entre une 

 fonctionnelle bornée et ses fonctionnelles d'ordre n d'approximation n'est pas 

 univoque, elle est en un certain sens continue: 



Théorème. Soient Uj [[/]; , ... , Up|[f]| , ... une suite de fonctionnelles 

 bornées dans Sì et tendant uniformément vers la fonctionnelle U|[V]|. 

 Soient W[ n) ..■ , W^' 0 , ... des fonctionnelles d'ordre n d'approxi- 

 mation de U x , ... , U p , .... Cette suite W p n) admet au moins un élément 

 limite et chacun de ses éléments limiles est une fonctionnelle d'ordre n 

 d'approximaiion de U|[^]|. De plus les approximations obtenues pour 

 Ui , ... , U p , ... tendent vers une limite égale à l' approximation obtenue 

 pour U. 



Les fonctionnelles bornées \J P tendant uniformément vers une limite 

 sont bornées dans leur ensemble et U est également bornée. Par suite les 

 W { p ] sont aussi bornées dans leur ensemble; elles forment un ensemble com- 

 pact d'après le lemme du début, c'est- à-dire qu'elles admettent au moins un 

 élément limite. 



Soit W (n) |[V]| un de ces éléments limites. Ce ne peut ètre qu'une fonc- 

 tionnelle d'ordre n. Je dis qu'elle est d'approximation pour U. 



De la suite j'extrais une suite tendant vers W ( *' ; ou encoie je 

 puis supposer que c'est la suite W]?> qui tend vers W <M) . Soient fi p le ma- 

 ximum de |Uj)|[Y]| — W<, re) |[,s]|| et fi la plus petite limite des nombres fi p . 



Je démontre qu'il ne peut exister une fonctionnelle d'ordre n donnant 

 de U|[Y]| une approximation inférieure à fi. Car une telle fonctionnelle don- 

 nerait pour certaines grandes valeurs de p une meilleure approximation 

 de U p que W<?>. 



Je dérnontre ensuite que W (n) donne pour U une approximation égale 

 à fi. C'est donc une fonctionnelle d'approximation. 



Enfin je démontre que la suite fi p , ou tonte autre suite analogue, a un 

 seule valeur limite égale à fi . Car si une telle suite admettait une valeur 

 limite fi' ]> fi , on pourrait en extraire une autre suite admettant fi' comme 

 plus petit élément limite; alors le raisonnement de l'avant-dernier paragraphe 

 montrerait qu'on ne peut pas obtenir pour U une approximation égale à 

 fi <!,<*'. Ou bien une telle suite admettrait une valeur limite fi"<^fi', 

 alors le raisonnement du dernier paragraphe montrerait qu'on peut obtenir 

 pour U une approximation égale à fi" <Cfi. Ces deux conclusions sont égale- 

 ment absurdes. 



III. — Application à la représentation 



DE CERTAINES FONCTIONNELLES. 



Soit U|[«]| une fonctionnelle qui soit dans Sì limite d'une suite de 

 fonctionnelles d'ordres entiers, la convergence étant uniforme dans tout le 

 champ Sì. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 54 



