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engendrée par un groupe de trans formations birationnelles de la sur face 

 en elle-méme. 



En d'autres termes, je démontrerai que les points d'un groupe de l'in- 

 volution dépendent rationnellement de l'un d'entre eux. 



Si nous examinons les démonstrations du théorème de MM. Enriques 

 et Severi, de celui de M. Enriques et du miei), nous voyons qu'elles pro- 

 cèderi toutes suivant les mémes lignes générales. Je procederai ici de la 

 mèrne manière. 



Etant donnée, sur une surface algébrique, une involution (doublement 

 infime) I n , d'ordre n (> 2) , douée d'un nombre fini de points unis, nous 

 considérons, sur cette surface, un système contimi complet |Cj. Désignons 

 par K les courbes transforme'es des courbes C au moyen de la correspondance 

 (n — l , n — 1) déterminée par l n entre les points de la surface. 



Nous supposons, en premier lieu, que les courbes K sont irréductibles ; 

 et nous démontrons que ces courbes K sont comprises dans un système complet 

 dont la dimension surpasse celle de jCj . Il suffit alors d'utiliser une extension 

 du raisonnement fait par MM. Enriques et Severi dans leur Mémoire sur 

 les^ surfaces hyperelliptiques (*) pour ótre conduit à une absurdité. 



Le méme procede permet de démontrer que les courbes K sont préci- 

 sément rédnctibles en » — 1 courbes. Le théorème que nous avons en vue, 

 s'établit dès lors sans difficulté. 



1. Soit P une surface algébrique sur laquelle il existe une involution I n , 

 d'ordre n(^>2), doublement intìnie, n'ayant qu'un nombre fini (éventuellement 

 nul) de points unis. 



Considérons, sur la surface F, un système contimi complet, }C{, irré- 

 ductible, satisfaisant aux conditions suivantes: 



a) Les points unis de l n ne sont pas des points-base de JC(, 



b) Le système {C| n'est composé ni avec I„, ni avec une involution 

 avec laquelle I„ serait elle-méme composée. 



c) La dimension de chacun des systèmes linéaires |C| contenus dans JC| 

 est au moins égale à un. 



Il existe évidemment une infinite de systèmes de courbes satisfaisant 

 à ces trois conditions. Il suffit, par exemple, de prendre un système simple, 

 sans points-base, de dimension sulfisamment grande. 



En général, un groupe de I„ ayant un de ses points sur une courbe C 

 générique, n'a pas un second point sur cette courbe. 11 ne pourra y avoir 

 exception que pour un nombre fini, a, de groupes de I„; ceux-ci auront 

 deux de leurs points sur une courbe C générique. 



La correspondance symétrique (n — 1 , n — 1), définie par I„ entre les 

 points de P, transforme une courbe C en une courbe K. Chaque groupe de 



(') Loc. cit., (1), première partie, à partir du 6 ième alinéa de la pag. 334. 



