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I„, dont un point se trouve sur C , a n — 1 autres points sur K . Ces groupes 

 de n — 1 points forment une y'n-i • 



A un couple de points de C appartenant à un mérne groupe de I n , 

 correspondront n — 2 points doubles de K. Cette courbe K aura donc (n — 2)a 

 points doubles (variables). 



Lorsque C décrit le système |CJ, K décrit un système contimi ayant 

 un certain noinbre de points-base (aux points fondamentaux de I„ et aux 

 conjugués, par rapport à I„, des points-base éventuels de jOj) et (n — 2) a 

 points doubles variables. 



2. Supposons les courbes K irréductibles. Sous cette hypothèse, nous 

 allons démontrer que les courbes K sont les courbes totales d'un système 

 contimi complet, plus ampie que jCj . 



Considérons un système linéaire complet |C| de \G\. Les courbes K, 

 homologues des courbes de |C|, forment un système rationnel non linéaire, 

 puisque ri ^> 2 , et dont la dimension, égale à celle de |C|, est au moins 

 égale à un d'après l'hypothèse e). D'après un théorème de M. Enriques ('), 

 ces courbes K appartiennent totalement à un système linéaire |K|, dont la 

 dimension stirpasse nécessairement celle de |C|. Observons, de plus, que* la 

 courbe générique da système |K| n'a pas de points doubles variables ( 2 ), 

 mais que |K| possède les mémes points-base (avec les mémes multiplicités) 

 que le système rationnel forme par les courbes K homologues des courbes 

 de |C|. 



Lorsque ]C| décrit le système contimi JC(, le système |K| décrit un 

 système contimi jKj (que nous supposerons complète, s'il le faut) qui contient, 

 comme courbe totale, tonte courbe K homologue d'une courbe C et dont la 

 dimension stirpasse celle de jC| . 



Si les courbes K sont irréductibles, elles sont les courbes totales d'un 

 système continu complet \K\ dont la dimension surpasse celle de jC{ et 

 dont la courbe générique n'a pas de points doubles variables. 



3. Nous montrerons actuellement que les deux propriétés : 



A) \K\ irréductible et (par suite) de dimension supérieure à celle 

 de {C{, 



B) jC{ n ayant pas de points-base qui soient des points unis de l„ 

 et (par suite) une courbe C ne contenant pas, en r/énéral, des points unis 



sont incompatibles. On en déduira que les courbes K sont réductibles. 



( l ) Un'osservazione relativa alla rappresentazione parametrica delle curve algebriche. 

 Rendiconti di Palermo (1896). voi. X, pag. 30. 



( a ) Voir Enriques, Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche (n. 5). 

 Memorie della Società dei XL (1896), ser. 3 a , voi. X, pag. 1. 



