— 411 — 



Pour démontrer cette incompatibilité, nous utiliserons le raisonnement 

 fait par MM. Enriques et Severi dans leur Mémoire sur les surfaces hyper- 

 ellìptiques ( 1 ), en l'étendant _un peu. 



Considérons une courbe K de JK( qui ne soit pas la conjugue'e d'une 

 courbe de jCj, ce qui est possible en vertu de la propriété A). Soit L la 

 courbe engendrée par _les n — 1 points des groupes de I„ dont le w ième 

 point se trouve sur K. Lorsque la courbe K varie d'une facon continue 

 dans le système |K{ de manière a se réduire à une courbe K, conjuguée 

 d'une courbe Ci de JC( , la courbe L se réduit à la courbe composée 

 (n — 2) Ki -f- C, . Observons que lorsque la courbe K se sera réduite à K x , 

 elle aura en general acquis certains_points doubles: c'est-à-dire que la con- 

 nexion de la surface de Riemann K s'abaisse en se réduisant à K x . 



Supposons la courbe L irréductible, et indiquons par x x , x 2 , ... , x„ , 

 les n points d'un groupe variable de I„ . Pour fixer les idées, supposons 

 que Xi soit le point situé sur K , x 3 , ... , x n , étant les n — 1 points 

 situés sur L. 



Puisque la courbe L est irréductible, on peut faire décrire à x 2 , sur la 

 courbe K (envisagée cornine surface de Riemann), un cycle a tei que, sur L , 

 Xi et x 3 soient échangés entre eux. Lorsque K se réduit à Ki , un des points 

 Xi , x 3 , ... x n , par exemple x x , se trouve sur G l , les n — 2 autres étant 

 sur K] . Mais cette réduction s'opérant d'une manière continue, la propriété 

 de Xi , x 3 d'étre échangés lorsque x 2 décrit un certain cycle sur K, doit 

 ©tre conservée. Deux cas peuvent se présenter: 



1) Le cycle «r, décrit sur K, devient, sur Ki , un cycle e non homo- 

 logue à zèro. Lorsque x 2 décrit ff, x tì qui se trouve sur Ci , et x 3 , qui 

 se trouve sur Ki , doivent s'échanger. Cela ne peut se produire que si Ci 

 possède des points unis de I„ ( 2 ) : ce qui n'a pas lieu en général, en vertu 

 de la propriété B). 



2) Le cycle ff, décrit sur K, se réduit, sur Kj , à un point P. Ce 

 point P est nécessairement un des points doubles que K acquiert lorsque 

 cette courbe se réduit à Ki, c'est-à-dire, d'après la construction du système jK(, 

 un des points doubles variables des courbes K homologues des courbes C . 

 Le groupe de \ n comprenant P , possédera donc deux points P, , P 2 , communs 

 aux courbes Ci , K, . Or, si nous faisons décrire à x 2 sur la courbe K, 

 (envisagée cornine surface de Riemann) un cycle infiniment petit a autour 

 de P, Xi , qui se trouve sur Ci , et x 3 , qui se trouve sur K x , devront 

 s'échanger. Cette échange ne pourra se faire qu'en l'un des points Pi ou P 2 . 

 Par conséquent, l'un de ces points sera un point uni de l'involution I„ . La 

 courbe Ci contiendrait donc une point uni de I„, ce qui n'a pas lieu en 

 général [propriété B)]. 



C) Loc. cit. (5). 



( 3 ) Loc. cit. (1), première partie, pag. 335. 



