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Nous voyons donc que les propriétés A) et B) sont contradictoires si L 

 est supposée irréductible. Il faut donc que L soit réductible de telle manière 

 que l'on ne puisse pas faire décrire à x 2 , sur K, un cycle tei que x x et x s 

 soient échangés. Il faut donc que L contienne une partie X , lieu de x x se 

 réduisant à Ci lorque K se réduit à Ki . Et cela est encore vrai méme si 

 l'involution I„ possède des points fondamentaux unis ('). 



La courbe X varie sur F d'une manière continue, et doit se réduire à 

 une courbe de jC|. Mais ce système contimi jCf est complet: donc X appar- 

 tient à ce système. La courbe X étant une courbe C , la courbe L — X + K 

 doit etre une courbe totale de jK{. Cela est absurde, car X n'étant qu'une 

 partie de L , K serait à la fois courbe partielle et courbe totale de jK( . 

 Cette absurdité prouve que les propriétés A) B) sont incompatibles, que L 

 soit réductible ou non. Les courbes K ne peuvent donc étre irréductibles. 



Les courbes K sont réductibles. 



4. Supposons que les courbes K soient réductibles, mais en un nombre 

 de courbes inférieur à n — 1 . Alors, une de ces composantes, E r , sera le 

 lieu de plusieurs points appartenant à un méme groupe, variable, de I„ . 



Dans ces conditions, on démontrera, en suivant le raisonnement fait plus 

 haut, que le système JK'J , complet, comprenant les courbes K' comme courbes 

 totales, a la dimension supérieure à celle de JC{. Le raisonnement de 

 MM. Enriques et Severi, répété comme ci-dessus, conduira alors à une 

 absurdité. Par conséquent: 



Les courbes K se clécomposent en n — 1 courbes. 



5. Considérons un système linéaire | Ci | , triplement infini, contenu dans 

 un système continu complet jC^ satisfaisant aux mémes conditions que le 

 système jC{ dont il a été question ci-dessus. Les courbes qui correspondent 

 aux courbes C] au moyen de la correspondance (n — l,n — 1) déterminée 

 sur P par I„ , se décomposent donc en n ■ — 1 parties que nous désignerons 

 par C2 , C3 , ... , C n . 



Soient Xi , x 2 , ... , x„ les points d'un groupe générique de I„ qui ne 

 sont ni l'un ni l'autre des points-base de |Ci|. Considérons les courbes de 

 |Cj[ passant par le point x x . Elles forment un réseau que nous indiquerons 

 par ^1 . Les courbes C 2 , C 3 , ... , C„, conjuguées des courbes d de 2 , passent 

 respectivement par les points x<i , x 3 , ... , x n et engendrent des systèmes 

 doublement infinis que nous désignerons per 2 Z ,2 S , ... , S n . 



Deux des systèmes 5, , 2 2 , ... , 2 n ne peuvent coincider. En effet, cela 

 ne pourrait se présenter que dans deux cas: 



1) 2 X coincide avec Fun des autres 2, par exemple avec 2 2 . 



(') Loc. cit. (1), première partie, pag. 336. 



