Posto, inoltre, 



t = -H, 



indichiamo con m il minimo della funzione 



y) + 



6(s,y) 



x Qccjs ,y) + t y (s,y ) ds 



'0 



a(x ,y) = e 



e con M un numero 'positivo non inferiore al massimo dell'altra funzione 



** , y) + ty{* , y) , 

 6(s,y) 



Si ha allora che: dato un campo connesso C dir, se il primo e l'ultimo 

 punto d' incontro di ogni curva q> = cosi, che invade C, col contorno c 

 di C, limitano su questa un arco la cui proiezione ortogonale sopra l'asse x 

 non supera la quantità 



è unico in C V integrale dell'equazione ellittica L(z) = f che su c prende 

 valori prescritti. 



Per maggiore chiarezza, facciamo vedere come sia possibile, lasciando 

 alla x completa arbitrarietà tra le funzioni finite e continue in r, costruire 

 una funzione positiva 6» ivi verificante le diseguaglianze (1). Basterà per ciò 

 prendere per 6 una funzione sempre positiva nel campo r e ivi sempre 

 minore di entrambi i minimi delle due funzioni 



_ ac — b % 

 a ' XfJ -af + 2b x + c ' 



certamente non nulli nel campo r che abbiamo supposto finito. 



Nell'ipotesi, che converrà in seguito considerare, in cui jT si estende all'in- 

 finito, la funzione 6 esisterà qualora si ammetta pei coefficienti a , b , c , 

 quello speciale comportamento all' infinito, secondo il quale le due funzioni 

 a e xp si mantengono discoste da zero più di un termine assegnato a. In 

 quest' ipotesi, per r, non si potrà neppure assegnare arbitrariamente la fun- 

 zione (p (x , y) e i rimanenti coefficienti h , k , A ; si dovrà soddisfare alla 

 condizione che la funzione a(x,y) si mantenga pur essa discosta dallo zero 

 più di un termine assegnato w, e che la funzione /? (x , y) non superi un 

 numero fisso M. 



Dall'enunciato teorema di unicità segue che, nel caso che sia, in r, 



. ~òh ~òk „, x 



A == H a; , y) < 0 , 



~òx 1y v 9Ì 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1* Sem. 



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