il campo C non deve soddisfare ad alcuna condizione affinchè per esso valga 

 il teorema; si potrà invero prendere allora per M una variabile positiva 

 infinitesima. Ciò è notissimo; pertanto, nel sèguito, sottintenderemo che la 

 funzione B.(x ,y) prenda sempre, in r, anche valori positivi. 



3. Ciò premesso, per una maggiore comprensione del teorema di unicità 

 del numero precedente, consideriamo le sue conseguenze in qualche caso 

 particolare. Cominciamo dal più interessante ; e prendiamo per funzione g> la 

 seguente : 



. 00 



solchiamo cioè il campo r con la famiglia <2> di parabole eguali 



y+fk =h ' 



oo 



di parametro k aventi l'asse delle y per comune asse. Si avrà % = - . Pren- 



rC 



diamo per ti una costante positiva, minore di entrambi i minimi nel campo r 

 (supposto finito) delle funzioni 



k\ac — b 2 ) 



a , xp = 



ay 2 -j- 2kbx -f- ck z 



risulterà a (x , y) == 1 , § (x , y) = — . Designamo con N il massimo, in r, 



u 



della funzione H (x , y) ; in forza del nostro teorema di unicità potremo affer- 

 mare che : 



Dato un campo C di T, se il primo e l'ultimo punto di incontro di 

 ogni parabola <Z> che invade C, nel contorno c di C , limitano su questa un 

 arco la cui proiezione ortogonale sull' asse x non supera la quantità 



d = ti ? è unico in C l'integrale dell'equazione (I) che su c prende 



valori prescritti. 



È molto semplice la costruzione di campi C presentanti la particolarità 

 indicata nel teorema precedente. A tal uopo (ved. figura) conduciamo la 

 retta r per l'origine di equazione y = y x, q consideriamo tutte le parabole <P 

 che la incontrano. Sopra ognuna di queste parabole fissiamo per senso posi- 

 tivo di percorso quello, secondo cui deve procedere un osservatore, che cam- 

 mini sul piano x , y , percorrendo la parabola in guisa che il relativo fuoco 

 giaccia sempre alla sua sinistra. 



Se, dopo ciò, a partire da un punto d' incontro P h di ogni parabola 

 (p = h della retta r, stacchiamo sulla parabola, nel verso positivo, un seg- 

 mento di essa, P A P'>,, la cui proiezione ortogonale sull'asse x è misurata 

 dalla costante à, subito si vede che il luogo dei punti P' ft è una seconda 



