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Ne segue che: il campo G soddisferà alle volute condizioni per la 

 validità del teorema di unicità, semplicemente se (ved. figura) è tutto con- 

 tenuto in uno dei due angoli delle rette r , r' solcati dai segmenti di pa- 

 rabola PftP/,' . 



Il coefficiente angolare della retta r è in nostro arbitrio; scegliamolo 

 perciò in guisa che i nominati due angoli opposti al vertice abbiano il loro 



massimo valore. Occorre e basta perciò porre y= — — ; e allora le rette 



a/C 



r e r' assumono rispettivamente le equazioni 



ó ó 



(r) y = -Yk x ' (/) y = m x '- 



passano cioè entrambe pel punto origine delle coordinate, e riescono ugual- 

 mente inclinate sull'asse delle x. L'angolo da esse compreso sarà poi acuto, 



retto, ottuso, secondochè 



ó<2k , à=2k , ó>2k. 



Possiamo pertanto enunciare il semplicissimo teorema di unicità: 

 Indichi k una costante positiva, e 6 un altra costante positiva minore 

 di entrambi i minimi, in r, delle funzioni 



k"-(ac — b 2 ) 

 a ' ^ = ax 2 + 2bkx + ck 2 ; 



sia poi N il massimo, in r, della funzione ,y): per ogni campo C 

 di r, tutto contenuto in uno degli angoli delle due rette r , r', 



(r) y = -2k]/^ X ' {r) y =2kY^^ 



attraversati dall'asse delle x, vale il teorema di unicità relativo agli in- 

 tegrali dell' equazione (I) che prendono sul contorno valori prescritti. 



Consideriamo il caso, particolarmente interessante, in cui il campo r 

 sia tutto il piano x y , e i coefficienti dell'equazione (I) vi siano definiti in 

 modo che esista sempre una costante positiva 0 minore di entrambi i limiti 

 inferiori, in tutto il piano, delle funzioni a e tp, ed esista un numero po- 

 sitivo N che si mantenga maggiore dei valori di H (x , y) ; varrà sempre 

 allora il teorema di unicità per campi C soggetti, ad esempio, alla sola 

 condizione d'essere contenuti in uno degli angoli delle rette r , attraver- 

 sati dall'asse delle x. Osserviamo che, fissato k e quindi 6, l'apertnra del- 

 l'angolo (r ,r'), in cui deve essere contenuto il campo C, dipende dai va- 

 lori di N, ed essa aumenta e tende ad essere di 1 80° col diminuire del 

 limite superiore N di B.(x,y). Comunque, purché N sia finito, riusciamo 



