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a costruire campi C, per cui vale il teorema di unicità, suscettibili di 

 estendersi illimitamente nelle infinite direzioni contenute in un angolo. 



4. Confrontiamo le condizioni ora imposte al campo C con quelle che, 

 anche nelle speciali ipotesi ultimamente fatte pei coefficienti dell'equazione (I), 

 vengono ad esso imposte nei teoremi di unicità finora conseguiti. 



Facciamo, per semplicità, il confronto avendo supposto b = 0. E ben 

 noto (efr. il n. 3 della mia Nota citata), il teorema : 



Se a e c sodo funzioni sempre positive in tutto il piano aventi entrambe 

 ivi limiti inferiori non nulli, e 6' designa una costante positiva minore di 

 questi limiti, mentre N è un numero positivo che non viene mai superato 

 da H(x , y), per ogni campo C contenuto in una striscia di larghezza non 



superiore a 7r "J/ — , è unico l' integrale dell'equazione 



(I) lU) + ^(^) + 2^ + 2^ + A, = /, 



v Da; \ l>x J ' ~òy \ ~òy / 1 ìx 1 Dy 1 ' 



che sul contorno di C prende valori prescritti. 



Se a e c, oltre ad avere limiti inferiori non nulli, sono tali che anche 

 la funzione 



k 2 ac k 2 k 2 



/y«7>2 I ht 2 2 Ai 2 ""^ /vi 2 ìf 2 



UtAs | C IL i/y . ih Jy . ti, 



~c~^~~a ~c^~l f 



ha limite inferiore non nullo, per il che occorre e basta che — si mantenga 



inferiore ad un termine assegnabile [sia ad esempio c = 0' -\- x 2 c\x . y), 

 con c\x , y) <r >■ 0] , si potrà anche applicare il teorema di unicità otte- 

 nuto al num. precedente ; ed è evidente quanta maggiore libertà di esten- 

 dersi esso consenta al campo C . 



5. 11 metodo seguito al n. 3, si può adottare, coni' è ben evidente, nel- 

 l'esame delle conseguenze del teorema di unicità enunciato al n. 2 in mol- 

 tissime altre ipotesi che sulla funzione arbitraria g> (x , y) si possono fare. 

 Offre interesse la considerazione della famiglia O di catenarie 



OC 



y -f- k cosh — = h ; 



rC 



si avrà % = senh — , e se, nell' ipotesi che il campo r sia tutto il piano, 

 supponiamo inoltre non nulli i limiti inferiori delle funzioni 



