— 420 — 



e finito il limite superiore di H, si giunge per il campo C a condizioni 

 ancora meno restrittive della sua libertà di estendersi illimitatamente in 

 varie direzioni. Nelle ipotesi del n. 3, il coefficiente c dalla (I) deve avere 



CC^ 



all' infinito un tal comportamento da risultare il rapporto — limitato supe- 



c 



riormente, qui il coefficiente c deve invece crescere all'infinito dell'ordine 



ce 



(almeno) di un esponenziale, per modo che il rapporto senh 2 — : c risulti 



limitato superiormente. 



Considerando la famiglia (P di cerchi concentrici 



x 2 -|- y 2 = h 2 , 



bisognerà limitarsi a quella parte di jT che è tutta al disopra della retta 

 y = e {s costante positiva), o tutta al disotto della retta y = — s. Si ha 



CO 



X = — , per cui, se il campo r è tutto il piano e vogliamo applicare il 



y 



nostro teorema di unicità a campi C situati ovunque nel semipiano y^s, 

 dobbiamo supporre che le funzioni 



y 2 {ac — b 2 ) 



' ™ ax 2 -\- 2bxy + cif ' 



abbiamo, per y > e, limiti inferiori non nulli (ne seguirà il rapporto x z :cy 2 

 limitato superiormente). Sarà possibile allora la determinazione della co- 

 stante positiva 0, e si avrà 



X 2 X 3 



0 



se dunque, inoltre, i rimanenti coefficienti h , k , A dell'equazione sono tali 



x* 



che il prodotto Be^V* non superi un numero positivo N. per un campo C 

 del semipiano y > g, il cui contorno stacchi su ogni cerchio <P (che lo 

 incontra) un arco di proiezione ortogonale sull'asse x non superiore alla 



quantità ó = n j^/ ^ , vale il teorema di unicità. Ne segue in particolare 



che: Per ogni campo C tutto contenuto nella porzione dell'angolo retto 

 ò 2 -4- f 2 



y >. s , x — — — , limitata dalla retta y = e e dalla parabola 



y 2 = 2éx + ó 2 + e 2 , 



vale il teorema di unicità. 



