Che la funzione V possa effettivamente esistere risulta subito dall'osser- 

 vare che per le condizioni (6 6 , c ) si ha 



Come possa determinarsi risulta dalle considerazioni seguenti. Poniamo 



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w =7~ f ' g^rd*' 



ove r indica la distanza da un punto generico di e, e, indicando con U 

 una nuova funzione da determinarsi invece di V, poniamo 



v = u + w. 



Cerchiamo a quali condizioni deve soddisfare la TJ . Per le proprietà ben 

 note dei potenziali di doppio strato, avendosi sopra <r 



W, — W,r = g 



dovremo avere 



(7 fl ) Uv — Uv' = 0 . 



La U sarà quindi continua attraverso e, e dovranno essere parimenti 

 continue tutte le sue derivate prime e seconde. Difatti dalla seconda delle (6 C ) 

 e per le proprietà delle derivate normali della W, dovrà essere 



(7 b ) ^ + ^ =0 . 



E da questa relazione insieme alla (7 0 ), col procedimento precedentemente 

 indicato, risulta appunto la continuità di tutte le derivate prime e seconde. 

 In altri termini siccome la funzione W e le sue derivate prime e seconde 

 hanno su e le stesse discontinuità che deve avere la V , la funzione U e le 

 sue derivate prime e seconde dovranno essere continue. 



Quindi U dovrà essere in S armonica, finita e continua insieme a tutte 

 le sue derivate prime e seconde; inoltre sulla superficie s dovrà soddisfare 

 alla condizione 



^U = _ W 



~ìn ~ ~òn 1 



mentre d'altra parte si ha 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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