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della (6"), 



j 21^ -*)- W*, - *) f dì; = r*<P(x) ^'"^ ri* , 

 da cui, supponendosi n ]> 0, 



g>(£) 2*'(a> 1 ) - 4>(a>) '\ ' ' dx . 



A questo modo siamo passati dall' equazione (1) ad un'equazione ana- 

 loga in cui n è sostituito con n — 1. Ripetendo n volte questo procedi- 

 mento si perverrà ad una equazione integrale di prima specie il cui nucleo 

 sarà I 0 {xi — £) e che quindi sappiamo risolvere. 



La formola di risoluzione della equazione (1), a cui così perveniamo, si 

 semplifica tenendo conto della identità 



(8) 2 — l i( x i— x ) = C Xl — — a?) d g 



^ÒOC i OC i CC u ce $C\ — £ S "~~ CO 



la quale è un caso particolare di un'identità più generale che presto dimo- 

 streremo. 



IL 



Poniamo, per n, nella (6"), una volta n — 1 ed un'altra volta n-\-l. 

 Sommando e sottraendo le due equazioni, risultanti, membro a membro, otte- 

 niamo le altre due equazioni seguenti: 



/n\ n ~à T' / \ T' / \ C 00 ' 1 tifai £) #o) j<- 



(9) 2 — Infaì — x a ) — I n -ifai —x 0 )= — d§ , 



òX\ J aco 5 Xq 



(10) 2 



1) \ n {x l — x 0 ) n — 1 l n -i{xi — x 0 ) 



~t)CC i 0C\ CC § 'Yb CC \ ' CO q 



dì . 



f«» l n fai £) !,(£ — *.) 



Jx 0 X\ £ £? Xq 



Queste equazioni fanno dipendere la risoluzione delle equazioni integrali 



di Volterra di prima specie i cui nuclei sono Ì£(a>, - x) , ^ ^ dalla 



risoluzione delle equazioni analoghe i cui nuclei sono, rispettivamente, 



1 1 toc ' " " coi 



I'o(#i — x) = l\fai — x) e — , la prima delle quali sappiamo ri- 



OC i oc 



solvere. Vogliamo mostrare che anche l'altra, cioè 



(il) f%(s) Il [ Xl ~ x) dx - , 



ì — 



si può agevolmente risolvere. Da essa abbiamo infatti, a causa della (8) 

 che si deduce dalla (10) per n = 1 , 



9 fa)- dx = - 0> (x '-dx. 



7>x i x x — x 2J e ' x, — x 



