— 478 — 



considerazione dal Coulon nella sua bella tesi ('), ma esso dà luogo ad un 

 problema d'inversione avente caratteri diversi e più complessi di quello a 

 cui dà luogo il caso particolare che abbiamo preso in esame ed a cui sol- 

 tanto vogliamo attenerci. 



Escludiamo momentaneamente il caso n = 1 di cui vogliamo occuparci 

 a parte più tardi. Allora l'ipercono caratteristico dell'equazione (20) che 

 ha il vertice nel punto (xt , t) dello spazio lineare (2?, , r), nel quale, come 

 si suole, faremo le nostre considerazioni, ha per equazione 



(21) (^_ T )2_ r2==0 j r %_ ^{xì — h) z ■ 



ì 



Questo ipercono divide lo spazio lineare ad n -f- 1 dimensioni (£* , t) 

 in tre regioni indefinite e connesse, cioè quella in cui r ! >(( — t) 2 e le 

 due in cui r 2 < (t — t) 2 con t^>t, ovvero con t < t , e di queste tre 

 regioni soltanto le ultime due sono semplicemente connesse. Noi vogliamo 

 applicare il metodo di Riemann-Volterra solo in una di queste due ultime 

 regioni e, per fissare le idee, stabiliremo di rimanere nella ragione in cui 

 r 2 < (t — t) 2 , t < t . 



La soluzione fondamentale, nel metodo di Riemann-Volterra, non è com- 

 pletamente determinata come accade, invece, nel metodo di Riemann pro- 

 priamente detto, per n—1; circostanza, questa, che è lungi dal riuscire di 

 imbarazzo. Noi sceglieremo queste soluzioni fondamentali com'è stato fatto 

 dal Coulon, ponendo: 



(22) sp' = (<-*)^(0)A«) > e =(7IT^ • z = i(t-*y-r*. 



Sostituendo, per y>, questa espressione di <p', nella (20), si vede subito 

 che la detta equazione è soddisfatta assoggettando le due funzione ip ed f 

 a soddisfare alle equazioni: 



m 9(1 _ s) ^ +( , + ?i=^_^ =0 , 



La funzione <p' dev'essere determinata in modo che, per s = 0, ossia 

 sulla varietà conica caratterisrica (t — t) 2 — r 2 = 0, si annulli e per 

 r — 0 sia : 



lim r"" 1 tp' = 0 , lim r* 1 " 1 == Q(t — t) , 

 O essendo il simbolo di funzione determinata. 



(') Paris, Hermann, 1902. 



