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Matematica. — Représentation d'une fonctionnelle continue, 

 satisfaisant à la condition du eycle ferme. Nota di R. Gateaux, 

 presentata dal Socio V. Volterra. 



1. Dans une Note présentée le l er mars 1914 à l'Accademia dei Lincei, 



00 



j'ai indiqné une représentation d'une fonctionnelle continue TJ| | d'une 



00 



fonction réelle continue z(t). M. Volterra m'a fait remarquer que ce résultat 

 pouvait sans doute étre applique aux fonctionnelles satisfaisant à la condi- 

 tion du cycle ferme. 



Pour tous renseignements sur la question du cycle ferme, on pourra se 

 reporter au chapitre VII des Legons sur les fonctions de lignes de M. Vol- 

 terra (Paris, Gautbier-Villars, 1913). 



I. — ■ Le principe du cycle ferme. 



e 



2. Soit, dans le champ réel, une fonctionnelle U| [*($]. de la fonction s(t) 



— co 



définie et continue ainsi que ses p premières dérivées pour / < Q . 



On dit que cette fonctionnelle satisfatt a la condition du cycle ferme 



co 6 



si, toutes les fois que z(t) admet la période T, la fonction de 6, TJ|[40]|» 



— co — co 



admet aussi la période T. 



On dit qu'elle satisfait a la condition de l'invariabilité de l'hérédité 

 dans le temps, si la condition 



^ 0 



uW)]S = uW + A)]j 



00 — 00 



6 



est vérifiée quel que soit le nombre X et pour toute fonction s{t) . 



00 



3. M. Volterra a démontré une pioposition qu'il a appelée principe du 

 cycle fermé et que j'énonce d'abord sous la forme generale suivante: 



La condition du cycle fermé et la condition de l'invariabilité de l'héré- 

 dité dans le temps, sont équivalentes s'il y a dissipation des actions hérédi- 



6 



taires; c'est-à-dire si la fonctionelle U|[^(0]| est très peu modifiée quand on 



CO i, 



modifie arbitrairement s(t) pour les valeurs de t inférieures à une certame 

 limite 6 — l. 



