Avant d'énoncer le principe sous une forme précise, je pose une définition. 



Soient z(t) une fonction détermine'e; Si(t) une fonction qui tend, avec ses 

 p premières dérivées, vers la fonction z(t) et ses p de'rivées correspondantes, 

 la convergence étant uniforme dans tout intervalle fini. 



e — fi 



Si, quel que soit le nombre fi positif ou nul, U|[^,(^ + ^)]J tend vers 



— 00 



e — jx e 

 Uj[s(£ -j- /t)]| uniformément par rapport à fi, je dirai que U| | est 



00 00 



continue d'ordre p, p pouvant prendre les valeurs 0,1,2,.... 



e 



Traduisons cette condition en inégalités: étant donnés la fonction z(t) 



00 



et le nombre positif «, on peut déterminer rj et l positifs, tels que, si l'on 

 a, dans L' intervalle (0 — 1,1), 



Hi) - m \<v, \m - m< n r - >>to - < v , 



on ait, quel que soit le nombre fi positif ou nul, 



|u |[«,(V+ m)]| - u ! [*(/+ /*)]|| < * • 



00 00 



Ceci pose, j'utiliserai le principe sous la forme suivante: 

 e 



Sila fonctionnelle Uj | satisfait à la condition du cycle fermé, et 



00 



si elle est continue d'ordre p , elle vérifie la condition de l' invariabilità 

 de l'hérédité dans le temps. 



Inversement, si elle satisfait à la condition de Vìnvariabilité de 

 l'hérédité dans le temps, elle vérifie la condition du cycle fermé. 



II. — Représentation. 



4. Le théorème précédent va nous permettre de donnei- une représen- 



o 



tation d'une fonctionnelle U|[^)]| continue d'ordre p et satisfaisant à la 



00 



condition du cycle fermé. Cette fonctionnelle vérifie la relation 

 (1) U|[*(0]|=U|[*(f + «)]|. 



— 00 — 00 



0 



Tout revient donc à trouver une représentation de U|[^(i)]|. 



— 00 



5. J'indique d'abord quelques définitions dont j'aurai besoin par la suite. 



