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Soit 0 O un nombre déterminé pouvant prendre la yaleur -f- oo . Soit C 

 un ensemble de fonctions z(t) continues, ainsi que leurs p premières dérivées. 



00 



Je dirai que l'ensemble C est compact d'ordre p si de toute infinite de 

 fonctions de C on peut extraire une suite de fonctions tendant, avec leurs p 

 premières dérivées, vers une fonction limite et ses p premières dérivées, la 

 convergence étant uniforme dans tout intervalle fini. 



e 



Je dirai qu'un ensemble r de fonctions z(t) , les nombres 6 étant finis, 



— OD ' ' 



0 



est un ensemble - G p , si l'ensemble des fonctions z{t -f- 0) , qu'on déduit 



00 



de toutes les fonctions de F, est compact d'ordre p. 



6. Je vais utiliser quelques résultats de ma Note du l er mais (page 311, 

 II, 2). Je les rappelle ici, et comme je me suis mal exprimé dans l'énoncé 

 de l'un d'eux, j'en profite pour le rectifier. 



Dans cette Note j'ai désigne par Sì l'ensemble des fonctions continues 



00 . . 



s(t), et par 12(A,B) l'ensemble de ces fonctions telles que k(t) <z(t) <. B(t) , 



00 



A et B étant deux fonctions continues. 



00 



Soient n un nombre entier positif et g n (t) une fonction ainsi définie: 



00 



( z{t) quand n 

 £ n {t) = ì n quand z(() > n 

 [ — n quand z(t) <C — n. 



00 



Si T!\[z(ty]\ est une fonctionnelie définie et continue d'ordre 0 dans Sì 



00 



on peut la représenter par l'expression 



U|[^)]|= lim K M , 0 +X ■-• ^n, s {t^-^ s )Uti)-UQdt l ...dt s 



— oo «— > 00 ' s=l^—n J—n 



la convergence étant uniforme dans tout ensemble compact d'ordre 0 de 

 fonctions z(t) . 



3£yj n est une constante; K„ )S une fonction continue. 



00 



Dans le cas oii U| [£(£)]) n'esl définie et continue d'ordre 0 que dans 



— 00 



un domaine SÌ(A. , B), on peut éviter l'emploi des £ n (t) et donner pour U 

 une représentation de la forme précédente où £ n (l) serait rempìacée par 

 z(t). 



