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7. Fonctionnelle continue d'ordre 0 satisfaisant à la condition du 

 cycle ferme. 



e 



Si cette fonctionnelle est U|[s(tf)][, il nous faut d'abord une représen- 



00 



0 



tation de U| |- Appliquons les resultata du n° 6, en prenant 0 comme 



— co 



limite supérieure des intégrales. 



Supposons d'abord la fonctionnelle définie pour loutes les fonctions 

 e 



continues z(t) : c'est-à-dire supposons qu'il y ait lieu d'envisager des actions 



00 



e 



de grandeur illimitée. Alors, les fonctions £ n {t) étant définies comme au 



00 



e 



n° 6 à partir de la fonction z{t) , on a 



— 00 . 



0 i rn /-o ro \ 



U| [>(<)] | = lim K„, 0 + Z ' • ' — ' '«) U*i) UQ dh dt s , 



— oo n ~ -^°q;v s=) n J —n 1 



la convergence étant uniforme dans tout ensemble compact d'ordre 0 de 



0 



fonctions z(t) . 



— ■ 00 



Si nous appliquons l'égalité (1), et effectuons le cbangement de variables 

 t k -[- 0 = r h , nous obtenons la représentation 



6 ( 



— x> n->co{ 



+ Y Kn^T, —B\ ... , T S — 6) f n (T.) ... U(T S ) dT, ... dT s \, 



5=1 ._/8— n Jb—n } 



6 



la convergence étant uniforme dans lovt ensemble - C 0 de fonctions z(t). 



00 



Dans le cas où Fon ne considère que des actions de grandeur limitée, 



e 



c'est-à-dire que des fonctions s(t) au plus égales J en valeur absolue, àun 



00 



certain nombre positif M , on peut simplifier l'expression précédente en 

 écrivant s(t) au lieu de £„(t) . 



8. Fonctionnelle continue d'ordre p satisfaisant à la condition du 

 cycle ferme. — La condition de continuité est d'autant plus générale et moins 

 restrictive pour la fonctionnelle que p est plus élevé. 



e 



Soit n un nombre entier positif. Désignons par £ n . P (t) les fonctions défi- 



00 



e 



nies de la facon suivante à partir de la dérivée d'ordre p de la fonction s(t) : 



