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z ( *>\t) quaad \z®\t)\<, n 



= ( n quand gV>{t) > n 



[ — n quand z lp) (t) <C — n . 



e e 

 Si la fonctionaelle Uj [.?(£)] | est dé/ìnie pour toutes les fonctions z(t) 



00 —co 



admettant des dérivées continues jusquà l'ordre p, on démontre qu'elle 

 admet la représentation • 



Up)]H lim |k„,o + 



Tn rb fb 



+ y • • E s [*, - 6 , ... \ t s — 6 ; , s\6) , ... , z l *-»{0)~\ X 



e 



/a convergenee étant uniforme dans tout ensemble - G p de fonctions z(t) . 



— 00 



K»j,o est une constante; K s une fonction continue par rapport à l'ensemble 

 de ses s-{-p variables. 



e 



Dans le cas où l'on ne considère que des fonctions z(t) dont la dérivée 



00 



d'ordre p est au plus égale, en valeur absolue, à un nombre positi f M , on 

 peut simplifler l'expression précédente en écrivant z^^r) au lieu de ^^(f) - 

 9. Cas de convergenee uniforme. — Reprenons le cas d'une fonctionnelle 

 continue d'ordre 0 satisfaisant à la coudition du cycle ferme. Supposons, de 

 plus, que les actions z(t) ne puissent dépasser, en valeur absolue, un certain 

 nombre positif M. Alors 



(2) U| [*(*)][= lim K„, 0 + 



— 00 n ~ > 00 ' 



K„ )S (^ , ... , t s ) ... z(t s ) dti ... dt s 



(3) U|[^)]| = lim jK„, 0 + 



— 00 n->a> \ 



rn rb rb \ 



+ Z " • K„ )S (r, — 0 , ... , t s — 6) sfa) ... z(t s ) dti ... dv s j . 



La convergenee de la représentation (3) n'est généralement pas uniforme 



e 



dans tout le domaine D des fonctions continues M. 



00 



Elle l'est en mème temps que celle de la représentation (2). Or j'ai 

 étudié ce dernier problème dans ma Note du l er ! mars (page 313), dans le 

 cas où l' intervalle de variation de t est ( — oo , oo). On passe sans difficulté au 



