detto B un numero non minore dei moduli delle radici della (2), si ha 

 quindi 



\x r — y s \ < \x r \+ \y,\ < A 4- B ; 

 e dunque si sostituisce A -f- B a ciascun fattore del prodotto 



( 4 ) |R| = IIkr — y,|, 



r,s 



tranne che ad un sol fattore, si ottiene 



\ic r — ^|>|R|:(A + B)"»'- 1 , 



Dunque: il numero positivo 



(5) / t = |R|:(A + B)" m - 1 



è minore dei moduli delle differenze tra le radici delle due equazioni (1) 

 (2), prive di radici comuni. 



2. Supponiamo, in particolare, che la (2) sia l'equazione derivata della (1): 



(6) g(z) = f'(z) = na <) z n - 1 -\-(n — l)a ì ,z n - 1 -\ [-«n-i = 0. 



Allora m — n — 1, R si riduce al discriminante D della (1), e come nu- 

 mero B, non minore dei moduli delle radici di (7), si può assumere lo 

 stesso A (') ; dunque: il numero positivo 



(7) v = |D|:(2A)" 4 "- 1) - 1 



è minore dei moduli delle differenze tra le radici di una equazione (1), 

 priva di radici multiple, e le radici dell'equazione derivata (6). 



3. Ciò vale, in particolare, quando si suppongono reali i coefficienti 

 della (1). Allora vale pure il teorema di Rolle: « tra due radici reali con- 

 secutive a e /? (a</2) della (1) cade un numero dispari di radici dell'equa- 

 zione derivata". Ora, per quanto precede, noi possiamo aggiungere che: 

 queste radici cadono tutte nell'intervallo più piccolo (a-\-v,@ — v), ove 

 v è il numero (7) ( 2 ). 



(') Poiché A, essendo non minore dei numeri (4), non è neppure minore dei numeri 



n — 1 a t 

 n a 0 



e quindi non è minore dei moduli delle radici della (a). 



( a ) Un teorema analogo, enunciato da Laguerre e dimostrato dal Cesàro (Nouvelles 



Annales de math., 3 ème sèrie, tom. IV, pag. 328), dà per v il valore ^ " . Però esso sup- 

 pone che le radici dell'equazione siano tutte reali. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 64 



+ 1. 



n — 2 



+ 1, 



+ 1, 



