Ne segue subito che: il numero 

 (8) A = 2t> = 2|D|: (2A)»'"- 1 '- 1 



è minore dei moduli delle differenze tra le radici reali della (1) (*). 



4. Ritornando al teorema generale del § 1, applichiamolo supponendo 

 che l'equazione (2) sia di primo grado, 



g(s) = z — a — 0 , 

 con la radice a reale o complessa. Allora, per la (4), si ha 

 l R l= il \x r — «| = |/(«)| : |«o| ; 



r 



inoltre si può assumere B = |«|. 



Otteniamo così il teorema: se a è un numero qualunque (reale o 

 complesso) non radice dell'equazione (1), il numero positivo 



(9) M«) = |/(«)|:|« 0 |(A + |«|r- 1 



è minore dei moduli delle differenze tra il numero a e le radici Xi (i = 1 , 

 2 , ... , n) della (1). 



5. Questa proprietà della funzione /*(«), suggerisce un nuovo metodo 

 di approssimazione delle radici di una equazione algebrica. Per maggior 

 chiarezza, lo esporremo sotto forma geometrica. 



Incominciamo con l'osservare che nel piano rappresentativo della varia- 

 bile complessa i punti Xi(i = 1 ,'2 ,...,n), immagini delle radici della (1), 

 saranno tutti contenuti nell'interno del cerchio r' che ha per centro il 

 punto (origine) z = 0, e per raggio A . 



Osserviamo inoltre che: i punti Xi sono tutti esterni rispetto ad 

 ogni cerchio G r che abbia per centro un punto qualsiasi a r , non radice 

 di (1), e per raggio fi(a r ). Ciò non è che l' interpretazione geometrica del 

 teorema del § 4. 



Or prendiamo entro r\ o sulla sua periferia, un punto a t e descriviamo 

 il corrispondente cerchio d : esso staccherà da J" una regione r l5 tale 

 che nel suo interno e sulla sua periferia non cadranno punti X{. Sia Ti la 

 rimanente parte di r' (nella quale cadranno i punti xì). Preso in r t o sul 



(') La conoscenza di un tal numero è utile nell'operazione della separazione delle 

 radici reali della (1) col noto metodo di Waring-Lagrange. Allo stesso scopo Caucliy 

 dette il numero analogo 



\/\7\:(2k) 3 



ove J indica pure il discriminante di (1), come D nella (8); però J differisce in gene- 

 rale da D per un fattore, potenza di a 0 - 



