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Ma e <fr è sempre finito e diverso da zero; dunque lim fi(a r ) = 0, ossia, per 

 la (9), 



i im i/wi = imi =0 



^ | flo |(A -f la,!)"" 1 \a 0 \ (A + |/|) M_1 ' 



cioè /(/) = 0. Dunque / coinciderebbe con un punto # t -, e quindi la curva s 

 passerebbe per un punto x t , contro l' ipotesi fatta. 



6. La funzione fi(<x) può anche essere adoperata per approssimare le 

 radici reali di un'equazione (1). 



Infatti, dato un numero reale a 0 , non radice della (1), si costruiscano 

 le due successioni di numeri reali : 



(11) ao,a, , a 2 , ... ove a r+l = a r -4- fi(a r ) (r = 0 , 1 , 2 , ...) 



e 



(12) a 0 , a_i , «_ 2 , ... ove a r _ x = a r — fi{a r ) (r = 0, — 1,-2,...). 



Essendo la funzione (i{a) sempre positiva, per a non radice di (1), la prima 

 successione è crescente, e la seconda è decrescente, e però enlramhe tendono 

 a limiti finiti o infiniti, che diremo rispettivamente L ed L 



Supponiamo che L sia finito. Allora, ragionando sulla relazione ricor- 

 rente (11) come poc'anzi abbiamo fatto sulla (10), si riconosce che L è 

 radice di (1). E siccome, per la proprietà della funzione it(a) (§ 4), nes- 

 suna radice di (1) può cadere negli intervalli (a„ ,ai) , («i, «2) > («2 , a 3 ) , ... , 

 se ne deduce che L è la più piccola radice di (1) maggiore di a 0 . Se ne 

 deduce, inoltre, che, se L = -|-oo, non vi è alcuna radice di (1) maggiore 

 di « 0 . 



Analogamente si vede che: se / è finito, l è radice di (1), ed è la più 

 grande radice che sia minore di a 0 ; se / = — 00, non esistono radici di (1) 

 minori di a 0 . 



Dunque, mediante le successioni (11) e (12), possiamo approssimarci 

 alla radice immediatamente superiore ed alla radice immediatamente infe- 

 riore ad un numero reale dato, a 0 • 



