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Per semplicità supponiamo che F |[0(£),# , z~}\ possa considerarsi indi- 



o 



pendente dalle derivate di 0(£) allora diremo che la (I) è una equa- 

 zione integro -differenziale del 1° ordine per rapporto a z . 



Per giustificare questa denominazione, basta pensare che F , sotto certe 

 condizioni almeno, potrà esprimersi o per mezzo di una serie analoga a 

 quella di Taylor ( 2 ) o analoga a quelle polinomiali di Weierstrass ( 3 ), e 

 quindi, per mezzo di integrazioni multiple applicate alla f. 



Nel caso particolare in cui F è della forma 



m ,z) <p{x , S) d£, 



in cui <f(x , £) è una funzione determinata, si ricade nella equazione integro- 

 differenziale considerata nel § 3 della Nota citata. 



3. Supponiamo l'assoluta continuità di F rispetto agli elementi varia- 

 bili ; e supponiamo che, qualunque siano x e 3 , purché 1 >. x -> 0 , 

 a -\- l >l z ^ a — l, si abbia 



F|[0(?),a;,*]| — F|<M?),a;,*]| 

 o o 



se |0(£) — 0i(£)|<« per £ compreso fra 0 e 1, e 0(£) e 0,(1) compresi fra 

 ifj(£) -f-A e xfJ(£) — k ; ove A denota una eerta quantità costante e ìp(£) una 

 funzione continua. Allora, applicando il metodo delle approssimazioni suc- 

 cessive, l' integrale della equazione precedente si potrà mettere sotto la forma 



(1) f(x,z)==tfj(x)+0\ty(h,x,z-]\, 



in cui 0 si annulla per z = a. La detta forma dell'integrale / sarà valida 

 per 1 0, e z compreso in un certo intorno del punto a. È evidente 



che ip(x) rappresenta il valore iniziale di f(x,z) per z = a. 

 L'equazione (1) si può anche scrivere 



(I') f{x , z) = Xxp{x) + Tf \[f(§ , C) ,x , Q| d£ , 



J a 



la quale dovrà coincidere colla (1) se si fa il parametro costante l eguale 

 ad 1. 



(') Considereremo in altri lavori il caso adesso escluso. 



( 8 ) Volterra, Équations intégrales et intégro-différentielles, pag. 24, Paris, Gauthier- 

 Villars, 1913. 



( 3 ) Cfr. Gateaux, Sur la représentation des fonctionnelles continues. Rend. Lincei, 

 21 dicembre 1913, pag. 646. Le serie analoghe a quelle polinomiali di Weierstrass furono 

 date dapprima dal sig. Fréchet. 



