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Nella ipotesi, che la F , x , *]| sia sviluppabile in serie analoga 



o 



a quella di Taylor rispetto a ed i nuclei dei vari termini siano funzioni 

 olomorfe di s nell'intorno di z = a, si potrà sviluppare f(x,s) in serie di 

 potenze di X e di z — a , seguendo un procedimento analogo a quello che 

 ho impiegato nel § XVI del Cap. Ili delle mie lezioni sulle equazioni in- 

 tegrali ed integro-differenziali. In tal caso ci si può evidentemente esten- 

 dere, per rapporto a z, dal campo reale al campo complesso. 



Consideriamo z come un parametro costante, e risolviamo l'equazione (1) 

 rispetto a ip(x) ( 2 ). Avremo 



xp{x) = f{x , z) + 0, \lf{ì , s) , x , *]| . 



0 



Si riconosce facilmente che, se si indica con 



<Z>|[0(ì)]|, 



0 



una quantità che dipende arbitrariamente da tì(a;) per x compresa fra 0 e 1 

 (senza punti eccezionali), e se per 6{x) si sostituisce 



SP(») + ® 1 |[5p(?),'as,*Ì1 



0 



si avrà 



<P |£rfaO + 0,| |>(1?) , * , *] 1 J = £ 1 0(l) , *] | , 



la quale soddisfa l'equazione alle derivate funzionali 

 -sQ fi 1 1 



^[y(f),^ r! r]|F|[y(|),^^]|^ = 0, 



d5 ^0 0 0 



ove 



#||>(£),*,aQ| 



denota la derivata di 42 rispetto a $p fatta nel punto » . Questa proposizione 

 costituisce una facile estensione del teorema dato nella precedente Nota 

 (§ 3). 



4. Di speciale interesse sono le equazioni del tipo canonico. 

 Abbiasi 



0 0 



(') Gfr. Volterra, Legons sur les fonctions de lignes, Paris, Gauthier-Villars, 1913, 

 chap. IV. 



