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Matematica. — Sugli integrali abeliani riducibili. Nota I 

 del Corrispondente Francesco Severi. 



È noto che sopra una curva algebrica C, non può esistere un'infinità 

 continua di sistemi lineari (completi) d'integrali abeliani di l a specie, ri- 

 ducibili 



Picard e Poincaré hanno da tempo indicato esempi di curve di genere 

 p > 1 , possedenti un' infinità discontinua d' integrali ellittici (integrali con 

 due periodi ridotti) ( 2 ). In questa Nota mi propongo di mostrare l'esistenza 

 di curve contenenti infiniti sistemi lineari di a (> 1) integrali con 2q pe- 

 riodi ridotti; e ciò anche all' infuori dei sistemi che s'ottengono ovviamente, 

 sulle curve di Picard-Poincaré, combinando linearmente a due a due, a tre 

 a tre, ecc., i loro integrali ellittici. Resta però sottinteso che, nel caso 

 q > 1 , non potrà esigersi, come accade sempre per q = 1 , che ognuno degli 

 infiniti sistemi sia riducibile al genere q( 3 ), cioè che provenga da un'invo- 

 luzione di genere q della curva sostegno, giacché si sa anzi che non può 

 esistere una curva algebrica con infinite involuzioni irrazionali di genere 



?>1(<). 



(') Pei concetti fondamentali relativi agl'integrali riducibili, veggansi, ad es., le 

 mie Lezioni di geometria algebrica (Padova, Draghi, 1908). Ved. in particolare a pa- 

 gina 340. 



( a ) Picard, Sur la réduction du nombre des pénodes des intégrales abéliennes, etc. 

 (Bulletin de la Société math. de France, tom. XI, 1883, pag. 25) pag. 47; Poincaré, Sur 

 la réduction des intégrales abéliennes (Comptes rendus, tom. 99, 1884, pag. 853); Sur 

 les fonctions abéliennes (American Journal, tom. 8, 1886, pag. 289). 



( 3 ) Nel trattato di Krazer, Lehrbuch der Thetafunktionen (Leipzig, Teubner, 1903) 

 pag. 493; e nelle mie Lezioni citate, q integrali indipendenti, di l a specie, di una curva C 

 di genere p (><?) diconsi riducibili al genere q, quando, mediante una sostituzione ra- 

 zionale, essi possono mutarsi nei q integrali di l a specie di una curva di genere q. Poin- 

 caré invece adotta questa locuzione anche quando si sappia soltanto che i q integrali hanno 

 2q periodi ridotti. In generale ciò non porta l'esistenza su C di un'involuzione di genere q, 

 di gruppi di punti, ma sibbene l'esistenza di un'involuzione abeliana, sulla varietà dei 

 gruppi di q punti di C . 



(*) De Franchis, Un teorema sulle involuzioni irrazionali (Kendiconti del Circolo- 

 matematico di Palermo, tom. 36, 1913, pag. 368). Noterò di passaggio che oltre alla via, 

 del resto assai semplice, indicata dal De Franchis, per stabilire la citata proposizione, 

 si può seguire quest'altra. E chiaro (formola di Zeuthen) che le involuzioni di genere 

 q^> 1, sopra una C di genere p, hanno l'ordine limitato. Ma poiché le corrispondenze 

 di dati indici, sopra una curva, si distribuiscono in un numero finito di sistemi con- 

 tinui (ved. il lemma geometrico al n. 4 della mia Memoria, Le corrispondenze fra i punti 

 di una curva variabile in un sistema lineare sopra una superficie algebrica, Math. 



