Darò qui un cenno della via seguita e dei risultati ottenuti nel pre- 

 sente lavoro. 



Per brevità un sistema lineare d' integrali riducibili, i cui periodi ridotti 

 sieno in numero doppio a quello degl' integrali indipendenti contenuti nel 

 sistema, si dirà un sistema regolare. Esso è necessariamente completo ( 1 ). 



Se sulla curva C, di genere p, esistono due sistemi regolari d'inte- 

 grali riducibili, si presenta spontanea la considerazione del loro sistema 

 lineare « congiungente » K 1 , e del loro sistema lineare «intersezione" H. 

 Poggiandomi sulle ricerche di Castelnuovo intorno alle varietà di Picard ( 2 ) 

 e sopra una disuguaglianza fra il numero degl'integrali indipendenti (di 

 l a specie) di un sistema d' integrali riducibili ed il numero dei loro periodi 

 ridotti ( 3 ), dimostro che i sistemi H , K sono regolari, come i due sistemi 

 dati (n. 1). 



Ciò posto, si rappresentino gli oo^ -1 integrali di l a specie di C (*), coi 

 punti di uno spazio lineare S p _! , sicché i sistemi regolari d' integrali ridu- 

 cibili, abbiano per imagini certi spazi lineari di S r _i . Dalla proposizione 

 riferita, segue subito che gli spazi successivamente dedotti, mediante proie- 

 zioni e sezioni, a partire da un gruppo di spazi imagini di più sistemi re- 

 golari, rappresentano nuovi sistemi regolari. 



Ne deriva un' immediata ed elegante dimostrazione geometrica del teo- 

 rema di Poincaré, circa l'esistenza d' infiniti integrali ellittici sopra una 

 curva di genere p, che possegga fi -f- 1 integrali ellittici dipendenti 

 (p >. /t 2) ( 5 ). Nel caso fji^B, per esempio, sul piano rappresentativo del 



Annalen, Bd. 74, 1913); così ne segue, in forza di un noto teorema di Humbert-Castel- 

 nuovo, che le involuzioni di genere > 1 sono esse pure in numero finito. 



A proposito della mia Memoria citata dei Math. Annalen, colgo l'occasione per av- 

 vertire che negli enunciati dei nn. 19 e 20, relativi ad una corrispondenza T variabile 

 colla curva generica di un sistema lineare |C|, almeno oo 2 , sopra una superficie, regolare 

 o irregolare, F, va aggiunto in modo esplicito che, qualora |C| sia composto con una in- 

 voluzione I n , la corrispondenza T non deve far parte della corrispondenza simmetrica 

 S (n — 1 , n — 1), generata da I sopra ogni C , Del resto la dimostrazione del n. 19 esclude 

 in modo evidente questo caso, da che in essa si suppone che il luogo dei punti omologhi 

 di un dato x nelle T relative alle oo 1 curve della rete |C], che passan per x, sia una 

 curva; mentre nel caso da escludersi, il luogo suddetto ridurrebbesi ad un gruppo di 

 punti. I teoremi dei nn. 19, 20 valgono evidentemente, anche senza quest'esclusione espli- 

 cita, purché si riferiscano a sistemi lineari semplici |C|, almeno oo 3 . 



(') Cfr. le mie Lezioni, pag. 340. 



( a ) Castelnuovo, Sugl'integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare 

 (Eendiconti della E. Accademia dei Lincei, (5), tom. XIV, 1905, pag. 593). 

 ( 3 ) Ved. le mie Lezioni, pag. 338. 



(*) Consideriamo come identici due integrali che differiscano per una costante, addi- 

 tiva o moltiplicativa. 



( 5 ) Sur les fonctions abéliennes (cit.), pag. 305; Krazer (trattato citato), pag. 489. 



