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sistema che congiunge i 4 integrali ellittici dati, si hanno 4 punti, a tre 

 a tre indipendenti, Ai , A 2 , A 3 , A 4 , imagini di quei 4 integrali. Orbene, 

 le intersezioni a due a due delle rette congiungenti due degli A , o due dei 

 nuovi punti che da essi via via deduconsi (rete di Mòbius), rappresentano 

 infiniti integrali ellittici contenuti nel sistema. 



In generale si trova (restringendo leggermente la portata del teorema del 

 n. 4) che se una curva C , di genere p , possiede fi -4- 1 (-^ 3) sistemi re- 

 golari, a fi a fi indipendenti, d'integrali riducibili, tali che uno, A, di essi, 

 di dimensione q — 1 (5:0), sia contenuto nel sistema che congiunge gli altri, 

 la curva contiene un' infinità discontinua di sistemi analoghi ad A . Kesta 

 anche ben determinata la struttura di tale infinità, poiché si prova che quei 

 sistemi possono coordinarsi biunivocamente ai vertici di una rete di Mòbius 

 di specie fi — 1 (individuata da fi -f- 1 punti a fi a fi indipendenti di un 

 S,j,_i). Va considerato in modo speciale soltanto il caso fi = 2, perchè allora 

 il gruppo degli spazi rappresentativi dei tre dati sistemi, non è capace di 

 definirne altri, come A , mediante operazioni interne di proiezione e sezione. 

 Ma da fi = 2 si risale agevolmente a (i = 3, con un'opportuna operazione 

 di ampliamento (n. 2) del sistema congiungente i tre dati. La rete di Mò- 

 bius (di specie 1) coordinata alla totalità dei sistemi regolari co?- 1 esistenti 

 su C , è allora costituita dai punti d' una retta derivanti da tre di essi, me- 

 diante successive costruzioni di quarti armonici. 



Allorquando i fi -4- 1 sistemi dati sieno della stessa dimensione q — 1 

 — e a questo caso ci si può sempre ridurre — gì' infiniti sistemi regolari che 

 da essi derivano, costituiscono quella che chiamo una configurazione nor- 

 male di sistemi ci' integrali riducibili. Tale configurazione è studiata al n. 5 

 (Nota li) ove si determina anche il minimo continuo, cui appartengono tutti 

 i suoi sistemi regolari. 



Naturalmente questi risultati possono riferirsi, non soltanto agl'inte- 

 grali abeliani propriamente detti, ma anche agi' integrali semplici di prima 

 specie d'una varietà. Basta considerare, in luogo d'una varietà di Jacobi, 

 una varietà di Picard. 



Il n. 7 (Nota li) è dedicato a stabilire l'esistenza effettiva di varietà 

 (o curve) algebriche soddisfacenti ai teoremi sopra riferiti. E nel n. 8 

 (Nota II) espongo infine una dimostrazione analitica del teorema generale 

 del n. 4. 



1. Sistemi congiungente e intersezione di due dati sistemi re- 

 golari. Sistemi complementari. — Sia V una varietà di Picard (o di 

 Jacobi) a p dimensioni, la quale possegga due sistemi regolari A, , A 2 , con- 

 tenenti rispettivamente q x , q z integrali riducibili di prima specie, indi- 

 pendenti. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 76 



