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GÌ' integrali di A! sono allora costanti lungo le varietà algebriche W r 

 a p — cji dimensioni di un sistema oo?>, d'indice 1, appartenente a V ( 1 ), 

 e, similmente, le varietà W", di livello costante degl'integrali di A 2 , sono 

 algebriche, a p — q 2 dimensioni, e formano un sistema ooi*, pure d'indice 1. 



Sulla varietà algebrica W a d(<.p) dimensioni, riempita dalle W" 

 che escono dai punti di una W genericamente fissata, son costanti tutti 

 gì' integrali eventualmente comuni ai due sistemi, giacché essi lo sono tanto 

 lungo le W come lungo le W". 



Pel teorema di Castelnuovo, or ora citato a pie' di pagina, ne deriva 

 che il sistema, evidentemente lineare, formato da tutti gli eventuali inte- 

 grali comuni ai due sistemi A, , A 2 , è regolare. Dunque : 



Il sistema intersezione di due dati sistemi regolari d' integrali ridu- 

 cibili è regolare. 



Passiamo a considerare il sistema congiungente dei due dati sistemi 

 Ai , A 2 , cioè il minimo sistema lineare d'integrali semplici di l a specie 

 di V, che li contiene entrambi. 



Qualora si rappresenti il sistema lineare S degli oo^ _1 integrali di V , 

 coi punti di uno spazio S , a p — 1 dimensioni, e s' indichino colle stesse 

 lettere A, , A 2 gli spazi a q x — 1 ed a q% — \ dimensioni, imagini dei si- 

 stemi Ai , A 2 , il sistema intersezione H ed il sistema congiungente K , 

 verranno rappresentati rispettivamente dallo spazio intersezione H e dallo 

 spazio congiungente K di A, , A 2 . 



Sicché le dimensioni r — 1 ed s — 1 di H,K saranno legate alle di- 

 mensioni di Ai , A 2 dalla relazione 



r + s = q, + q 2 , 



e, se non esiste H , il sistema K avrà la dimensione q x -h q% — 1 • 



Consideriamo anzitutto il caso in cui H manchi. Allora scrivendo i pe- 

 riodi di una combinazione lineare generica degl' integrali di Ai , A 2 , cioè di 

 un integrale generico di K , si vede subito che K è un sistema di q x -f- q% 

 integrali indipendenti con al più 2{q ì .-\-q 2 ) periodi ridotti. Diciamo « al 

 più » , perchè a priori potrebbe dubitarsi che questi periodi fossero ulterior- 

 mente riducibili. 



Ma se si ricorda che il doppio del numero degl'integrali indipendenti 

 (di l a specie) contenuti in un dato sistema lineare d'integrali riducibili, 

 non può mai superare il numero dei periodi ridotti ( 2 ), si conclude che i pe- 



l 1 ) Che le W sieno algebriche risulta da un teorema di Picard, contenuto nel la- 

 voro citato. Viceversa Castelnuovo ha dimostrato che, se q t integrali semplici di l a specie 

 di V si mantengono costanti lungo una curva o superfìcie o varietà algebrica, essi indi- 

 viduano un sistema regolare oo?i —1 . Ved. Nota citata, pag. 594. 



(') Lezioni, pag. 338. 



