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Posto ciò, consideriamo un'altra picardiana W' di dimensione q[ e sia 

 <P la picardiana, di dimensione q-\-q', che rappresenta la varietà delle cop- 

 pie di punti di W,W. La $ contiene due sistemi regolari complementari, 

 rispettivamente di oo* -1 e oo?'-' integrali riducibili: i primi hanno gli 

 stessi periodi ridotti degl' integrali di W , ossia di A , e i secondi gli stessi 

 periodi ridotti degl' integrali di W. 



Si è così costruito un sistema regolare più ampio B, oo^' -1 , cui ap- 

 partiene un sistema regolare identico al dato sistema oo*- 1 A. E quando 

 parliamo di sistemi «identici» d'integrali riducibili,, intendiamo alludere 

 a sistemi i cui elementi (integrali) si possono riferire (omograficamente) per 

 guisa che due integrali corrispondenti abbiano gli stessi periodi ridotti. Due 

 varietà di Picard, di dimensione q, a cui spettino rispettivamente due dati 

 sistemi regolari ce?- 1 , fra loro identici, sono birazionalmente equivalenti. 



Diremo per ciò che il sistema regolare B è un ampliamento del si- 

 stema regolare A, ottenuto per proiezione dal sistema lineare degl'inte- 

 grali di W. 



3. Dimostrazione geometrica del teorema di Poincaré, relativo 

 alle curve (0 varietà) con infiniti integrali ellittici. — dalle 

 proposizioni del n. 1 discende che se, entro alla totalità S degli cc'p- 1 in- 

 tegrali semplici di l a specie di una. varietà algebrica V, esistono più si- 

 stemi regolari d'integrali riducibili, ogni sistema lineare dedotto da essi 

 con operazioni interne di proiezione e di sezione, è un sistema regolare 

 d' integrali riducibili. 



Supponiamo che V possegga fi -\- \ integrali ellittici u L , u % , ... , %+i , 

 linearmente dipendenti (p jti >.2). Senza introdurre un'effettiva restrizione, 

 si può ritenere che fra i suddetti integrali non se ne trovino mai fi dipen- 

 denti fra loro. 



Il sistema regolare congiungente quegl' integrali, ha perciò la dimensione 

 fi — 1, e viene rappresentato da uno spazio lineare K, in cui sono segnati 

 ix -\- \ punti u x , Uì , ... , ^jx+i , ?a ji a fi indipendenti, imagini dei dati inte- 

 grali. A partire allora da quei fi -f- 1 punti, con operazioni interne di pro- 

 iezione e di sezione, se ne possono ottenere infiniti altri (com'è ben noto, 

 si ottengono così tutti e soli i punti « razionali » rispetto al gruppo dei 

 ^ —f- 1 dati, i quali si assumano come vertici della piramide fondamentale 

 delle coordinate proiettive). Si conclude pertanto col teorema di Poincaré: 



Se una varietà (o curva) algebrica con p integrali semplici di 

 l a specie, contiene fi integrali ellittici linearmente dipendenti (p > fi, >2) 

 ne contiene infiniti altri. 



Nel caso fi = 3 , come già abbiamo detto nell'introduzione, gì' infiniti 

 integrali ellittici vengono rappresentati dai vertici della rete di Mòbius che, 

 sul piano rappresentativo K, è definita dai punti, a 3 a 3 indipendenti, 

 imagini dei 4 integrali ellittici dati. Le rette della rete corrispondono a 



