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sistemi regolari di 2 integrali riducibili con 4 periodi. Se a è una retta 

 della rete, il corrispondente sistema oo 1 contiene alla sua volta infiniti 

 integrali ellittici, rappresentati dai vertici della rete che cadono su a. Tali 

 vertici, come si sa, s'ottengono tutti da tre di essi, mediante successive 

 costruzioni di quarti armonici. 



Nel caso di ti qualunque, potremo similmente dire che gì' infiniti inte- 

 tegrali ellittici vengono coordinati ai vertici di una rete di Mòbius dì 

 specie — 1 , avente come base un gruppo di (x -f- 1 punti a (i a p in- 

 dipendenti. Le rette, i piani, ... , gli Sjj._ 2 della rete, rappresentano rispetti- 

 vamente sistemi regolari di 2 integrali con 4 periodi, di 3 integrali con 6 

 periodi,..., di [i — 1 integrali con 2 (/* — 1) periodi; e su ognuno degli 

 spazi subordinati della rete, il quale abbia la dimensione k(k = l ,2,..., 

 fi — 2), resta subordinata una rete di Mòbius di specie k, i cui elementi 

 rappresentano sistemi regolari d'integrali riducibili. In particolare sopra una 

 retta della rete si hanno, come prima, infiniti punti imagini d'integrali ellit- 

 tici, i quali s'ottengono tutti da 3 di essi, mediante costruzioni di quarti 

 armonici. Una tal totalità di punti si chiamerà brevemente una rete di Mò- 

 bius di specie 1, avente come base una terna di punti (allineati). 



Osservazione. — La dimostrazione esposta cade in difetto nel caso 

 estremo fi = 2, perchè allora lo spazio K riducesi ad una retta, su cui 

 sono segnati 3 punti distinti Ui ,Ui,u s . E da questi non se ne possono 

 dedurre altri, con operazioni interne di proiezione e di sezione. Tuttavia 

 proveremo che anche in tal caso la varietà V possiede infiniti integrali 

 ellittici, rappresentati dai punti della rete di Mòbius di specie 1, definita 

 da {iti , u 2 , u 3 ). 



A tale scopo si operi l'ampliamento del sistema K, mediante proiezione 

 di questo sistema da un integrale ellittico u 4 identico ad u 3 (n. 2), talché 

 la varietà <P del ni prec, verrà in tal caso ad esser la varietà delle terne 

 dei punti tolti da tre curve ellittiche -Ti , r 2 , r 3 , alle quali spettino rispet- 

 tivamente tre integrali identici ad u 1 ,u 2 ,u 3 . Il sistema ampliato oo 2 ,B, 

 contiene un sistema (identico a) K e un altro sistema oo 1 , L, congiungente 

 u 3 ed u 4 . Ed è evidente che ad L appartengono infiniti integrali ellittici, 

 ottenibili tutti combinando linearmente u 3 ,u 4 , mediante coefficienti interi 

 (o razionali). 



Se pertanto sul piano B, imagine di B, si segnano le rette K , L (le 

 quali si incontrano in u 3 ), uno, u s , degl' infiniti punti di L (diversi da u 3 ,u 4 ), 

 che rappresentano integrali ellittici, costituirà insieme ad m, , u 2 , una 

 quaderna d'integrali ellittici, e tre atre indipendenti. Saremo perciò ricon- 

 dotti al caso fi = 3, e si concluderà che la retta K, appartenente alla rete 

 definita da (u x , u 2 ,u 4 , u 5 ), contiene infiniti vertici della rete stessa, for- 

 manti una rete di Mòbius di specie 1 ; il che dimostra appunto quanto ab- 

 biamo asserito. 



